Derivataräknare

Så räknar du derivatan

1. Ange funktionen f(x). For example x^3-2x or sin(x).
2. Ange punkten x. Punkten där derivatan beräknas.
3. Räkna. Du får värdet av f′(x) i punkten, andraderivatan och tangentens ekvation.

Vad berättar derivatan?

Derivatan beskriver funktionens förändringshastighet, dvs. kurvans lutning i en given punkt. När derivatan är positiv ökar funktionen; när den är negativ minskar funktionen; och när derivatan är noll kan det vara en topp eller en dal. Tangenten är en linje som rör kurvan i punkten och vars lutning är exakt derivatans värde.

Numeerinen tarkkuus

Kalkylatorn uppskattar derivatan numeriskt med central differens, vilket ger ett mycket noggrant resultat för vanliga funktioner. Metoden fungerar för alla funktioner som webbläsaren stöder, utan att du behöver härleda derivatan för hand. Vid mycket branta eller diskontinuerliga punkter kan approximationen vara felaktig, så kontrollera resultatet för sådana funktioner.

Exempel: hastighet och acceleration

I fysik beskriver derivatan förändringstakten. Om ett objekts position som funktion av tiden är s(t) = 5t², är dess hastighet positionens derivata: s′(t) = 10t. Vid tiden t = 3 är hastigheten 10 · 3 = 30. Derivatan av hastigheten i sin tur är accelerationen, här konstanten 10. Samma tänkande fungerar i ekonomi (marginalkostnad är kostnadsfunktionens derivata) och i många andra tillämpningar. Kalkylatorn ger derivatans värde i den valda punkten direkt.

Derivointisäännöt lyhyesti

De grundläggande byggstenarna är värda att komma ihåg: derivatan av en konstant är 0, derivatan av potensen xⁿ är n·xⁿ⁻¹, och derivatan av en summa är summan av derivatorna. Det finns separata regler för produkt och kvot, och för en sammansatt funktion kedjeregeln. De grundläggande trigonometriska derivatorna är sin′ = cos och cos′ = −sin. Även om kalkylatorn räknar derivatan numeriskt hjälper reglerna dig att kontrollera om resultatet är av rätt storleksordning.

Ääriarvot ja funktion kulun tutkiminen

En av derivatans viktigaste tillämpningar är att hitta extrempunkter. Vid en funktions toppar och dalar är tangenten horisontell, dvs. derivatan är noll. Genom att lösa f′(x) = 0 hittar du de möjliga extrempunkterna, och förändringen i derivatans tecken talar om ifall det är ett maximum eller ett minimum. Om derivatan ändras från positiv till negativ har funktionen en topp; motsatsen ger en dal.

Detta används i optimering överallt: att hitta lägsta priset, största avkastningen eller minsta materialåtgången. Andraderivatan kompletterar bilden genom att berätta om kurvans krökning — en positiv andraderivata betyder en konvex (koppformad) form som öppnar uppåt. När du räknar värdet av derivatan i en punkt med denna kalkylator får du lutningen, och genom att undersöka den i olika punkter får du en känsla för var funktionen ökar, minskar och når sina extrema värden.

Bra att veta om derivatan

• Derivatan av en konstant funktion är noll, eftersom dess värde inte ändras.
• Derivatans nollställen är möjliga extrempunkter (toppar eller dalar).
• En positiv derivata betyder ökning, en negativ minskning.
• Tangentens lutning i en punkt är exakt derivatans värde i den punkten.

Sammanfattning

Derivatakalkylatorn ger en funktions derivata i en punkt, andraderivatan och tangentens ekvation. Ange funktionen och en punkt så får du lutningen och tangenten utan att derivera för hand. Derivatan berättar funktionens förändringstakt och hjälper till att hitta extrema värden, vilket är nyttigt både i studier och optimering. Vinklar tolkas i radianer och verktyget räknar värdet numeriskt, så det fungerar med alla funktioner webbläsaren stöder utan derivering för hand.

Vanliga frågor