Integralräknare

Så räknar du integralen

1. Ange funktionen f(x). For example x^2 or sin(x).
2. Ange gränserna. De nedre och övre gränserna definierar intervallet över vilket arean beräknas.
3. Räkna. Du får den bestämda integralens värde, dvs. arean mellan kurvan och x-axeln.

Vad betyder den bestämda integralen?

Den bestämda integralen ∫ₐᵇ f(x) dx beskriver den tecknade arean mellan funktionens kurva och x-axeln över intervallet [a, b]. När kurvan är ovanför x-axeln är arean positiv; under axeln räknas arean som negativ. Integralen är ett centralt verktyg för att beräkna areor, volymer, arbete och många fysiska storheter.

Simpsonin menetelmä

Kalkylatorn använder Simpsons regel, som uppskattar arean genom att anpassa paraboliska bågar till kurvan. Metoden är mycket noggrann för släta funktioner och ger ett praktiskt taget korrekt resultat för vanliga problem. Om funktionen har en diskontinuitet eller en vertikal asymptot i det valda intervallet kan resultatet vara opålitligt — dela då upp intervallet i delar.

Exempel: sträcka från hastighet

Om hastigheten som funktion av tiden är v(t) = 2t (m/s), är sträckan tillryggalagd över t = 0…5 den bestämda integralen av hastigheten ∫₀⁵ 2t dt. Geometriskt är detta arean av triangeln under hastighetsgrafen: bas 5 och höjd v(5) = 10, så arean = ½ · 5 · 10 = 25 meter. Kalkylatorn ger samma resultat numeriskt. Alltså kopplar integralen ihop hastighet och sträcka på samma sätt som derivatan kopplar ihop sträcka och hastighet — de är inversa operationer av varandra.

Bestämd och obestämd integral

Den obestämda integralen ∫ f(x) dx betyder en funktion vars derivata är f(x); den innehåller alltid en konstantterm + C. Den bestämda integralen ∫ₐᵇ f(x) dx är ett tal som fås genom att substituera gränserna och subtrahera. Analysens fundamentalsats binder dessa samman: den bestämda integralen är skillnaden mellan primitiva funktionens värden vid gränserna. Denna kalkylator fokuserar på den bestämda integralen, dvs. arean över ett givet intervall, vilket räcker för de flesta praktiska och skoluppgifter.

Från area till volym och medelvärde

Den bestämda integralen beräknar arean under kurvan, men mycket annat följer av samma idé. När kurvan roteras kring en axel ger integralen volymen av den resulterande kroppen — så beräknas till exempel rotationskropparnas volymer. I fysiken förvandlar integralen hastighet till sträcka och kraft till utfört arbete, eftersom dessa är "ackumuleringar" över tid eller sträcka.

Integralen används också för att räkna medelvärdet av en funktion över ett intervall: det är integralen dividerad med intervallets längd. Detta ger t.ex. medelvärdet av en varierande temperatur eller effekt över en viss period. I alla dessa återkommer samma idé om kontinuerlig summering: integralen adderar oändligt många små delar. Denna kalkylator ger arean numeriskt, och när du väl känner igen vad arean representerar i varje situation tjänar samma verktyg många typer av problem.

Bra att veta om integralen

• En bestämd integral är ett tal, en obestämd integral är en funktion (+ konstant C).
• Om övre och nedre gränserna är desamma är integralens värde noll.
• Att byta gränserna ändrar integralens tecken.
• Delen under x-axeln räknas som negativ area.

Sammanfattning

Integralkalkylatorn beräknar den bestämda integralen, dvs. arean under kurvan, med de givna gränserna. Ange funktionen och gränserna, så beräknar verktyget resultatet noggrant med Simpsons regel. Samma idé om area generaliseras till volymer, arbete och medelvärden, så kalkylatorn tjänar många slags problem.

Vanliga frågor