도함수 계산기

도함수 계산 방법

1. 함수 f(x)를 입력하세요. 예를 들어 x^3-2x 또는 sin(x).
2. 점 x를 입력하세요. 도함수를 계산할 점입니다.
3. 계산. 그 점에서의 f′(x) 값, 이계도함수, 접선의 방정식이 나옵니다.

도함수는 무엇을 알려주나요?

도함수는 함수의 변화율, 즉 어떤 점에서의 곡선의 기울기를 나타냅니다. 도함수가 양수일 때 함수는 증가하고, 음수일 때 함수는 감소하며, 0일 때 그곳은 극댓점이나 극솟점일 수 있습니다. 접선은 그 점에서 곡선에 접하는 직선으로, 그 기울기는 바로 도함수의 값입니다.

수치적 정확도

계산기는 중심 차분을 사용하여 도함수를 수치적으로 추정하며, 이는 일반적인 함수에 대해 매우 정확한 결과를 줍니다. 이 방법은 손으로 도함수를 구할 필요 없이, 브라우저가 지원하는 모든 함수에 사용할 수 있습니다. 매우 가파르거나 불연속인 점에서는 근삿값이 어긋날 수 있으므로, 그런 함수에서는 결과를 확인하세요.

예: 속도와 가속도

물리에서 도함수는 변화율을 나타냅니다. 물체의 위치가 시간의 함수로 s(t) = 5t²이면, 그 속도는 위치의 도함수 s′(t) = 10t입니다. 시각 t = 3에서 속도는 10 · 3 = 30입니다. 한편 속도의 도함수는 가속도로, 여기서는 상수 10입니다. 같은 사고방식은 경제학(한계비용은 비용 함수의 도함수)과 다른 많은 응용에서도 통합니다. 계산기는 선택한 점에서의 도함수 값을 바로 구합니다.

미분 규칙 간단히

기본 요소는 기억해 두는 것이 좋습니다. 상수의 도함수는 0, 거듭제곱 xⁿ의 도함수는 n·xⁿ⁻¹, 합의 도함수는 각 도함수의 합입니다. 곱과 몫에는 각각 전용 규칙이 있고, 합성함수에는 연쇄법칙이 있습니다. 삼각함수의 기본 도함수는 sin′ = cos, cos′ = −sin입니다. 계산기가 도함수를 수치적으로 계산하더라도, 규칙을 알면 결과의 자릿수가 맞는지 확인하는 데 도움이 됩니다.

극값과 함수의 거동 조사

도함수의 가장 중요한 응용 중 하나는 극값을 찾는 것입니다. 함수의 극댓점과 극솟점에서 접선은 수평, 즉 도함수가 0입니다. f′(x) = 0을 풀면 극값의 후보가 되는 점을 찾을 수 있고, 도함수의 부호 변화가 그것이 극대인지 극소인지 알려줍니다. 도함수가 양에서 음으로 바뀌면 함수는 극대가 되고, 그 반대이면 극소가 됩니다.

이는 온갖 최적화에 활용됩니다. 가장 낮은 가격, 가장 큰 수익, 가장 적은 자재 소비를 찾는 경우 등입니다. 이계도함수는 곡선의 굽은 정도를 알려줌으로써 전체 그림을 보완합니다. 양의 이계도함수는 아래로 볼록한(컵 모양) 형태를 뜻합니다. 이 계산기로 한 점에서의 도함수 값을 계산하면 기울기가 나오고, 그것을 여러 점에서 살펴보면 함수가 어디서 증가·감소하고 극값에 이르는지 파악할 수 있습니다.

도함수에 대해 알아두면 좋은 점

• 상수함수의 도함수는 0입니다. 값이 변하지 않기 때문입니다.
• 도함수의 영점은 극값의 후보가 되는 점(극대 또는 극소)입니다.
• 양의 도함수는 증가를, 음의 도함수는 감소를 뜻합니다.
• 한 점에서의 접선의 기울기는 바로 그 점에서의 도함수의 값입니다.

요약

도함수 계산기는 한 점에서의 함수의 도함수, 이계도함수, 접선의 방정식을 구합니다. 함수와 점을 입력하면 손으로 미분하지 않고도 기울기와 접선이 나옵니다. 도함수는 함수의 변화율을 알려주고 극값을 찾는 데 도움이 되므로 학습에도 최적화에도 유용합니다. 각도는 라디안으로 해석되며, 도구가 값을 수치적으로 계산하므로 손으로 유도하지 않고도 브라우저가 지원하는 모든 함수에서 작동합니다.

자주 묻는 질문