Calculadora de derivadas

Como calcular a derivada

1. Insira a função f(x). Por exemplo x^3-2x or sin(x).
2. Insira o ponto x. O ponto no qual a derivada é calculada.
3. Calcular. Você obtém o valor de f′(x) no ponto, a segunda derivada e a equação da tangente.

O que a derivada indica?

A derivada descreve a taxa de variação da função, ou seja, a inclinação da curva em um determinado ponto. Quando a derivada é positiva, a função cresce; quando é negativa, a função decresce; e quando a derivada é zero, pode ser um pico ou um vale. A tangente é uma reta que toca a curva no ponto e cuja inclinação é exatamente o valor da derivada.

Numerical accuracy

A calculadora estima a derivada numericamente usando a diferença central, que fornece um resultado muito preciso para funções comuns. O método funciona para todas as funções suportadas pelo navegador, sem que você precise derivar manualmente. Em pontos muito íngremes ou descontínuos, a aproximação pode ficar imprecisa, portanto verifique o resultado para tais funções.

Exemplo: velocidade e aceleração

Na física, a derivada descreve a taxa de variação. Se a posição de um objeto em função do tempo é s(t) = 5t², sua velocidade é a derivada da posição: s′(t) = 10t. No instante t = 3, a velocidade é 10 · 3 = 30. A derivada da velocidade, por sua vez, é a aceleração, aqui a constante 10. O mesmo raciocínio funciona em economia (o custo marginal é a derivada da função custo) e em muitas outras aplicações. A calculadora fornece o valor da derivada no ponto escolhido diretamente.

Differentiation rules in brief

Vale a pena memorizar os blocos básicos: a derivada de uma constante é 0, a derivada da potência xⁿ é n·xⁿ⁻¹, e a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Existem regras específicas para o produto e o quociente, e para uma função composta, a regra da cadeia. As derivadas trigonométricas básicas são sen′ = cos e cos′ = −sen. Mesmo que a calculadora calcule a derivada numericamente, conhecer as regras ajuda a verificar se o resultado tem a ordem de grandeza correta.

Extremos e estudo do comportamento de uma função

Uma das aplicações mais importantes da derivada é encontrar extremos. Nos picos e vales de uma função, a tangente é horizontal, ou seja, a derivada é zero. Resolvendo f′(x) = 0, você encontra os possíveis pontos de extremo, e a mudança de sinal da derivada indica se é um máximo ou um mínimo. Se a derivada passa de positiva para negativa, a função tem um pico; o oposto dá um vale.

Isso é usado em otimização em toda parte: encontrar o menor preço, o maior rendimento ou o menor consumo de material. A segunda derivada completa o quadro ao indicar a curvatura da curva — uma segunda derivada positiva significa uma forma convexa (em forma de taça) aberta para cima. Quando você calcula o valor da derivada em um ponto com esta calculadora, obtém a inclinação, e examinando-a em diferentes pontos você percebe onde a função cresce, decresce e atinge seus extremos.

Bom saber sobre a derivada

• A derivada de uma função constante é zero, porque seu valor não muda.
• Os zeros da derivada são possíveis pontos de extremo (picos ou vales).
• A positive derivative means increase, a negative one decrease.
• A inclinação da tangente em um ponto é exatamente o valor da derivada nesse ponto.

Em resumo

A calculadora de derivadas fornece a derivada de uma função em um ponto, a segunda derivada e a equação da tangente. Insira a função e um ponto, e você obtém a inclinação e a tangente sem derivar manualmente. A derivada indica a taxa de variação da função e ajuda a encontrar extremos, o que é útil tanto no estudo quanto na otimização. Os ângulos são interpretados em radianos, e a ferramenta calcula o valor numericamente, funcionando com todas as funções suportadas pelo navegador sem derivação manual.

Perguntas frequentes