Polynomräknare

Så anger du ett polynom

1. Kirjoita kertoimet järjestyksessä. Suurimmasta asteesta pienimpään, välilyönnein. Esim. x³−6x²+11x−6 → 1 -6 11 -6.
2. Markera saknade termer med en nolla. Till exempel skrivs x²−2 1 0 -2.
3. Beräkna rötterna. Du får rötterna, graden och derivatan. Komplexa rötter visas i formen a ± bi.

Polynomets rötter och grad

Ett polynoms grad är dess högsta potens, och den anger det maximala antalet rötter. Ett andragradspolynom har högst två rötter, ett tredjegradspolynom tre, och så vidare. Vissa av rötterna kan vara komplexa, i vilket fall de förekommer som konjugerade par. Kalkylatorn använder en etablerad numerisk metod som hittar alla rötter på en gång.

Derivata och användning

Kalkylatorn visar också polynomets derivata, som fås med potensregeln: termen a·xⁿ blir n·a·xⁿ⁻¹. Derivatan beskriver kurvans lutning och hjälper till att hitta extrempunkter. Polynom används för modellering inom teknik, ekonomi och naturvetenskap, och deras rötter motsvarar de punkter där den modellerade storheten antar värdet noll.

Exempel: ett tredjegradspolynom

Betrakta polynomet x³ − 6x² + 11x − 6, vars koefficienter anges som 1 -6 11 -6. Kalkylatorn hittar rötterna 1, 2 och 3. Du kan kontrollera en rot genom substitution: 1³ − 6·1² + 11·1 − 6 = 1 − 6 + 11 − 6 = 0, så x = 1 är en rot. Polynomet kan då skrivas i produktform (x−1)(x−2)(x−3). Ett tredjegradspolynom har högst tre rötter, och här är de alla reella och distinkta.

Från koefficienter till rötter

Det finns ett behändigt samband mellan rötterna och koefficienterna. För ett andragradspolynom x² + bx + c är summan av rötterna −b och produkten är c. I tredjegradsexemplet ovan motsvarar summan av rötterna 1 + 2 + 3 = 6 koefficienten för näst högsta termen (med tecknet ändrat), och produkten av rötterna 1·2·3 = 6 motsvarar den konstanta termen. Dessa samband hjälper dig att gissa rötter och snabbt kontrollera kalkylatorns resultat.

Tekijöihin jako ja polynomien jakolasku

Ett polynoms rötter och faktorer är nära förbundna. Om ett tal r är en rot av polynomet, då är (x − r) en faktor av det. Till exempel, när rötterna av x² − 5x + 6 är 2 och 3, faktoreras polynomet till (x − 2)(x − 3). Faktorisering är ett effektivt sätt att lösa och förenkla: från produktformen ses rötterna direkt, och uttryck kan reduceras.

Polynom kan också divideras med varandra som heltal, vilket ger en kvot och en eventuell rest. Om divisionen går jämnt ut är divisorn en faktor. Detta används t.ex. när en rot är känd och du vill sänka polynomets grad för att hitta de återstående rötterna. Polynomkalkylatorn ger rötterna direkt, men att förstå faktoriseringens idé hjälper dig greppa varför det finns ett visst antal rötter och hur de relaterar till koefficienterna.

Bra att veta om polynom

• Ett polynom av grad n har exakt n rötter när komplexa och multipla räknas.
• Ett reellt polynoms komplexa rötter förekommer alltid som konjugerade par a ± bi.
• Konstanttermen är polynomets värde vid x = 0.
• Om summan av koefficienterna är noll är x = 1 en rot — en behändig snabbkoll.

Sammanfattning

Polynomkalkylatorn hittar rötterna — inklusive komplexa — samt graden och derivatan från enbart koefficienterna. Ange koefficienterna från högsta graden till lägsta och markera saknade termer med en nolla. Verktyget visar alla rötter på en gång, och med sambanden mellan rötter och koefficienter kan du snabbt kontrollera resultatet.

Vanliga frågor