Calcolatore di derivate
Calcolate di una funzione derivata in un punto rapidamente. Inserite la funzione f(x) e un punto, e ottenete il valore della derivata f′(x), la derivata seconda f″(x) e l'equazione della tangente in quel punto. Gli angoli sono interpretati in radianti.
Calcolatore di derivate
f′(x) · tangenteCome calcolare la derivata
- Inserite la funzione f(x). Ad esempio
x^3-2xorsin(x). - Inserite il punto x. Il punto in cui viene calcolata la derivata.
- Calcolate. Ottenete il valore di f′(x) nel punto, la derivata seconda e l'equazione della tangente.
Cosa vi dice la derivata?
La derivata descrive la velocità di variazione della funzione, cioè la pendenza della curva in un dato punto. Quando la derivata è positiva, la funzione cresce; quando è negativa, la funzione decresce; e quando la derivata è zero, può essere un picco o un minimo. La tangente è una retta che tocca la curva nel punto e la cui pendenza è esattamente il valore della derivata.
| Funzione | Derivata | f′ nel punto |
|---|---|---|
| x² | 2x | x=3 → 6 |
| x³−2x | 3x²−2 | x=2 → 10 |
| sin(x) | cos(x) | x=0 → 1 |
| ln(x) | 1/x | x=2 → 0,5 |
Precisione numerica
La calcolatrice stima la derivata numericamente utilizzando la differenza centrale, che fornisce un risultato molto accurato per funzioni ordinarie. Il metodo funziona per tutte le funzioni supportate dal browser, senza che dobbiate derivare la derivata a mano. In punti molto ripidi o discontinui l'approssimazione può essere errata, quindi controllate il risultato per tali funzioni.
Esempio: velocità e accelerazione
In fisica, la derivata descrive la velocità di variazione. Se la posizione di un oggetto in funzione del tempo è s(t) = 5t², la sua velocità è la derivata della posizione: s′(t) = 10t. Al tempo t = 3 la velocità è 10 · 3 = 30. La derivata della velocità, a sua volta, è l'accelerazione, qui la costante 10. Lo stesso ragionamento vale in economia (il costo marginale è la derivata della funzione di costo) e in molte altre applicazioni. La calcolatrice fornisce direttamente il valore della derivata nel punto scelto.
| Funzione | Derivata | Nel punto |
|---|---|---|
| s(t)=5t² | 10t | t=3 → 30 |
| velocità 10t | 10 | costante |
Regole di derivazione in breve
Vale la pena ricordare i mattoni fondamentali: la derivata di una costante è 0, la derivata della potenza xⁿ è n·xⁿ⁻¹, e la derivata di una somma è la somma delle derivate. Ci sono regole separate per il prodotto e per il quoziente, e per una funzione composta la regola della catena. Le derivate trigonometriche di base sono sin′ = cos e cos′ = −sin. Anche se la calcolatrice calcola la derivata numericamente, conoscere le regole aiuta a verificare se il risultato è dell'ordine di grandezza giusto.
Estremi e studio del comportamento di una funzione
Una delle applicazioni più importanti della derivata è trovare gli estremi. Nei picchi e nei minimi di una funzione la tangente è orizzontale, cioè la derivata è zero. Risolvendo f′(x) = 0 trovate i possibili punti di estremo, e il cambio di segno della derivata indica se si tratta di un massimo o di un minimo. Se la derivata cambia da positiva a negativa, la funzione ha un picco; il contrario dà un minimo.
Ciò viene utilizzato ovunque nell'ottimizzazione: trovare il prezzo più basso, la resa massima o il minor consumo di materiale. La derivata seconda completa il quadro fornendo informazioni sulla curvatura della curva — una derivata seconda positiva indica una forma convessa (a coppa) che si apre verso l'alto. Quando calcolate il valore della derivata in un punto con questa calcolatrice, ottenete la pendenza, e esaminandola in punti diversi vi fate un'idea di dove la funzione cresce, decresce e raggiunge i suoi estremi.
Buono a sapersi sulla derivata
- La derivata di una funzione costante è zero, perché il suo valore non cambia.
- Gli zeri della derivata sono possibili punti di estremo (picchi o minimi).
- Una derivata positiva significa aumento, una negativa diminuzione.
- La pendenza della tangente in un punto è esattamente il valore della derivata in quel punto.
In sintesi
La calcolatrice della derivata fornisce la derivata di una funzione in un punto, la derivata seconda e l'equazione della tangente. Inserite la funzione e un punto, e ottenete la pendenza e la tangente senza derivare a mano. La derivata indica la velocità di variazione della funzione e aiuta a trovare gli estremi, il che è utile sia nello studio che nell'ottimizzazione. Gli angoli vengono interpretati in radianti, e lo strumento calcola il valore numericamente, quindi funziona con tutte le funzioni supportate dal browser senza derivazione a mano.
Domande frequenti
La derivata viene calcolata simbolicamente?
In quale unità sono gli angoli?
Ottengo anche l'equazione della tangente?
Cosa vi dice la derivata seconda?
Cosa dicono gli utenti
L'equazione della tangente direttamente — esattamente ciò di cui avevo bisogno per l'esame.
La derivata seconda è inclusa, un buon supporto per l'analisi.
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