导数计算器
计算函数的 在某点的导数 快速计算。输入函数 f(x) 和一个点，即可得到导数值 f′(x)、二阶导数 f″(x) 以及该点处切线的方程。角度按弧度解释。
导数计算器
f′(x) · 切线如何计算导数
- 请输入函数 f(x)。 例如
x^3-2x或sin(x)。 - 输入点 x。 计算导数的位置。
- 计算。 你会得到该点的 f′(x) 值、二阶导数和切线方程。
导数说明什么？
导数描述函数的变化率，即曲线在某一点的斜率。当导数为正时，函数递增；为负时，函数递减；为零时，可能是极大值或极小值点。切线是在该点与曲线相切的直线，其斜率恰好是导数的值。
| 函数 | 导数 | 该点的 f′ |
|---|---|---|
| x² | 2x | x=3 → 6 |
| x³−2x | 3x²−2 | x=2 → 10 |
| sin(x) | cos(x) | x=0 → 1 |
| ln(x) | 1/x | x=2 → 0,5 |
数值精度
计算器用中心差分法数值估算导数，对普通函数能给出非常精确的结果。该方法适用于浏览器支持的所有函数，你无需手动求导。在非常陡峭或不连续的点，近似值可能有偏差，因此对这类函数请核对结果。
示例：速度与加速度
在物理中，导数描述变化率。如果物体的位置作为时间的函数是 s(t) = 5t²，则其速度是位置的导数：s′(t) = 10t。在时刻 t = 3，速度为 10 · 3 = 30。而速度的导数是加速度，这里是常数 10。同样的思路适用于经济学（边际成本是成本函数的导数）和许多其他应用。计算器直接给出所选点处的导数值。
| 函数 | 导数 | 在该点 |
|---|---|---|
| s(t)=5t² | 10t | t=3 → 30 |
| 速度 10t | 10 | 常数 |
求导规则简述
基本要点值得记住：常数的导数是 0，幂 xⁿ 的导数是 n·xⁿ⁻¹，和的导数是各导数之和。乘积和商有各自的规则，复合函数用链式法则。三角函数的基本导数是 sin′ = cos，cos′ = −sin。尽管计算器以数值方法计算导数，了解这些规则有助于检查结果的数量级是否正确。
极值与函数走向的研究
导数最重要的应用之一是寻找极值。在函数的极大值和极小值处，切线是水平的，即导数为零。通过求解 f′(x) = 0，你能找到可能的极值点，而导数符号的变化说明它是极大值还是极小值。如果导数由正变负，函数有极大值；反之则为极小值。
这在各处的优化中都有应用：寻找最低价格、最大收益或最小材料消耗。二阶导数通过说明曲线的弯曲程度来补全全貌——正的二阶导数意味着向上开口的凸（杯状）形。当你用本计算器计算某点的导数值时，你会得到斜率，通过在不同点考察它，你就能了解函数在何处递增、递减并达到极值。
关于导数的须知
- 常函数的导数为零，因为它的值不变。
- 导数的零点是可能的极值点（极大值或极小值）。
- 正导数表示递增，负导数表示递减。
- 切线在某点的斜率恰好是导数在该点的值。
小结
导数计算器给出函数在某点的导数、二阶导数和切线方程。输入函数和一个点，无需手动求导即可得到斜率和切线。导数说明函数的变化率并有助于寻找极值，这在学习和优化中都很有用。角度按弧度解释，工具以数值方法计算，因此适用于浏览器支持的所有函数，无需手动推导。
常见问题
导数是符号计算的吗？
角度使用什么单位？
我也能得到切线方程吗？
二阶导数说明什么？
用户评价
直接给出切线方程——正是我考试所需的。
包含二阶导数，对分析很有帮助。
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