Ableitungsrechner
Berechne die Ableitung einer Funktion an einem Punkt schnell. Gib die Funktion f(x) und einen Punkt ein, und du erhältst den Ableitungswert f′(x), die zweite Ableitung f″(x) und die Tangentengleichung an diesem Punkt. Winkel werden in Radiant interpretiert.
Ableitungsrechner
f′(x) · TangenteSo berechnest du die Ableitung
- Geben Sie die Funktion f(x) ein. Zum Beispiel
x^3-2xodersin(x). - Gib den Punkt x ein. Die Stelle, an der die Ableitung berechnet wird.
- Berechnen. Du erhältst den Wert von f′(x) am Punkt, die zweite Ableitung und die Tangentengleichung.
Was sagt die Ableitung aus?
Die Ableitung beschreibt die Änderungsrate der Funktion, also die Steigung der Kurve an einem bestimmten Punkt. Ist die Ableitung positiv, wächst die Funktion; ist sie negativ, fällt die Funktion; und ist die Ableitung null, kann es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handeln. Die Tangente ist eine Gerade, die die Kurve im Punkt berührt und deren Steigung genau der Wert der Ableitung ist.
| Funktion | Ableitung | f′ am Punkt |
|---|---|---|
| x² | 2x | x=3 → 6 |
| x³−2x | 3x²−2 | x=2 → 10 |
| sin(x) | cos(x) | x=0 → 1 |
| ln(x) | 1/x | x=2 → 0,5 |
Numerische Genauigkeit
Der Rechner schätzt die Ableitung numerisch mit dem zentralen Differenzenquotienten, der für gewöhnliche Funktionen ein sehr genaues Ergebnis liefert. Die Methode eignet sich für alle vom Browser unterstützten Funktionen, ohne dass du die Ableitung von Hand herleiten musst. An sehr steilen oder unstetigen Stellen kann der Näherungswert abweichen, prüfe daher das Ergebnis bei solchen Funktionen.
Beispiel: Geschwindigkeit und Beschleunigung
In der Physik beschreibt die Ableitung die Änderungsrate. Ist der Ort eines Körpers als Funktion der Zeit s(t) = 5t², so ist seine Geschwindigkeit die Ableitung des Ortes: s′(t) = 10t. Zum Zeitpunkt t = 3 beträgt die Geschwindigkeit 10 · 3 = 30. Die Ableitung der Geschwindigkeit wiederum ist die Beschleunigung, hier die Konstante 10. Dieselbe Denkweise funktioniert in der Wirtschaft (Grenzkosten sind die Ableitung der Kostenfunktion) und in vielen anderen Anwendungen. Der Rechner liefert den Wert der Ableitung am gewählten Punkt direkt.
| Funktion | Ableitung | Am Punkt |
|---|---|---|
| s(t)=5t² | 10t | t=3 → 30 |
| Geschwindigkeit 10t | 10 | konstant |
Ableitungsregeln kurz gefasst
Die Grundbausteine sollte man sich merken: Die Ableitung einer Konstanten ist 0, die Ableitung der Potenz xⁿ ist n·xⁿ⁻¹, und die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen. Für Produkt und Quotient gibt es eigene Regeln, und für eine zusammengesetzte Funktion die Kettenregel. Die grundlegenden trigonometrischen Ableitungen sind sin′ = cos und cos′ = −sin. Obwohl der Rechner die Ableitung numerisch berechnet, hilft die Kenntnis der Regeln zu prüfen, ob das Ergebnis die richtige Größenordnung hat.
Extremwerte und Untersuchung des Funktionsverlaufs
Eine der wichtigsten Anwendungen der Ableitung ist das Finden von Extremwerten. An den Hoch- und Tiefpunkten einer Funktion ist die Tangente waagerecht, das heißt, die Ableitung ist null. Durch Lösen von f′(x) = 0 findest du die möglichen Extremstellen, und der Vorzeichenwechsel der Ableitung sagt, ob es ein Maximum oder ein Minimum ist. Wechselt die Ableitung von positiv zu negativ, hat die Funktion einen Hochpunkt; umgekehrt entsteht ein Tiefpunkt.
Das wird überall in der Optimierung genutzt: das Finden des günstigsten Preises, des größten Ertrags oder des kleinsten Materialverbrauchs. Die zweite Ableitung ergänzt das Bild, indem sie etwas über die Krümmung der Kurve aussagt – eine positive zweite Ableitung bedeutet eine nach oben geöffnete (schalenförmige) konvexe Form. Wenn du den Wert der Ableitung an einem Punkt mit diesem Rechner berechnest, erhältst du die Steigung, und indem du sie an verschiedenen Stellen betrachtest, erkennst du, wo die Funktion wächst, fällt und ihre Extremwerte erreicht.
Wissenswertes über die Ableitung
- Die Ableitung einer konstanten Funktion ist null, weil sich ihr Wert nicht ändert.
- Die Nullstellen der Ableitung sind mögliche Extremstellen (Hoch- oder Tiefpunkte).
- Eine positive Ableitung bedeutet Wachstum, eine negative Abnahme.
- Die Steigung der Tangente an einem Punkt ist genau der Wert der Ableitung an diesem Punkt.
Zusammengefasst
Der Ableitungsrechner liefert die Ableitung einer Funktion an einem Punkt, die zweite Ableitung und die Tangentengleichung. Gib die Funktion und einen Punkt ein, und du erhältst die Steigung und die Tangente ohne Ableiten von Hand. Die Ableitung gibt die Änderungsrate der Funktion an und hilft, Extremwerte zu finden, was sowohl beim Lernen als auch bei der Optimierung nützlich ist. Winkel werden in Radiant interpretiert, und das Werkzeug berechnet den Wert numerisch, sodass es mit allen vom Browser unterstützten Funktionen ohne Herleitung von Hand funktioniert.
Häufig gestellte Fragen
Wird die Ableitung symbolisch berechnet?
In welcher Einheit sind die Winkel?
Erhalte ich auch die Tangentengleichung?
Was sagt die zweite Ableitung aus?
Was Nutzer sagen
Die Tangentengleichung direkt – genau das, was ich für die Prüfung brauchte.
Die zweite Ableitung ist dabei, gute Unterstützung für die Analyse.
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