Calculadora de derivadas

Cómo calcular la derivada

1. Introduce la función f(x). Por ejemplo x^3-2x o sin(x).
2. Introduce el punto x. El punto en el que se calcula la derivada.
3. Calcular. Obtienes el valor de f′(x) en el punto, la segunda derivada y la ecuación de la tangente.

¿Qué indica la derivada?

La derivada describe la tasa de cambio de la función, es decir, la pendiente de la curva en un punto dado. Cuando la derivada es positiva, la función crece; cuando es negativa, la función decrece; y cuando la derivada es cero, puede tratarse de un máximo o un mínimo. La tangente es una recta que toca la curva en el punto y cuya pendiente es exactamente el valor de la derivada.

Precisión numérica

La calculadora estima la derivada numéricamente usando la diferencia central, que da un resultado muy preciso para las funciones ordinarias. El método sirve para todas las funciones que el navegador admite, sin que tengas que derivar a mano. En puntos muy pronunciados o discontinuos la aproximación puede desviarse, así que comprueba el resultado en tales funciones.

Ejemplo: velocidad y aceleración

En física, la derivada describe la tasa de cambio. Si la posición de un cuerpo en función del tiempo es s(t) = 5t², su velocidad es la derivada de la posición: s′(t) = 10t. En el instante t = 3 la velocidad es 10 · 3 = 30. La derivada de la velocidad, a su vez, es la aceleración, aquí la constante 10. El mismo razonamiento vale en economía (el coste marginal es la derivada de la función de costes) y en muchas otras aplicaciones. La calculadora da el valor de la derivada en el punto elegido directamente.

Reglas de derivación en breve

Conviene recordar los bloques básicos: la derivada de una constante es 0, la derivada de la potencia xⁿ es n·xⁿ⁻¹, y la derivada de una suma es la suma de las derivadas. Para el producto y el cociente hay reglas propias, y para una función compuesta la regla de la cadena. Las derivadas trigonométricas básicas son sen′ = cos y cos′ = −sen. Aunque la calculadora calcula la derivada numéricamente, conocer las reglas ayuda a comprobar si el resultado es del orden de magnitud correcto.

Extremos y estudio del comportamiento de una función

Una de las aplicaciones más importantes de la derivada es la búsqueda de extremos. En los máximos y mínimos de una función la tangente es horizontal, es decir, la derivada es cero. Resolviendo f′(x) = 0 encuentras los posibles puntos extremos, y el cambio de signo de la derivada indica si es un máximo o un mínimo. Si la derivada cambia de positiva a negativa, la función tiene un máximo; a la inversa surge un mínimo.

Esto se aprovecha en la optimización en todas partes: buscar el precio más bajo, el mayor rendimiento o el menor consumo de material. La segunda derivada completa el cuadro al informar sobre la curvatura de la curva: una segunda derivada positiva significa una forma convexa (en forma de copa) abierta hacia arriba. Cuando calculas el valor de la derivada en un punto con esta calculadora, obtienes la pendiente, y examinándola en distintos puntos te haces una idea de dónde crece la función, decrece y alcanza sus extremos.

Conviene saber sobre la derivada

• La derivada de una función constante es cero, porque su valor no cambia.
• Los ceros de la derivada son posibles puntos extremos (máximos o mínimos).
• Una derivada positiva significa crecimiento, una negativa decrecimiento.
• La pendiente de la tangente en un punto es exactamente el valor de la derivada en ese punto.

En resumen

La calculadora de derivadas da la derivada de una función en un punto, la segunda derivada y la ecuación de la tangente. Introduce la función y un punto, y obtienes la pendiente y la tangente sin derivar a mano. La derivada indica la tasa de cambio de la función y ayuda a encontrar los extremos, lo cual es útil tanto en el estudio como en la optimización. Los ángulos se interpretan en radianes, y la herramienta calcula el valor numéricamente, así que funciona con todas las funciones que el navegador admite sin derivación a mano.

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