Calculatrice de dérivées
Calculez la dérivée d'une fonction en un point rapidement. Saisissez la fonction f(x) et un point, et vous obtenez la valeur de la dérivée f′(x), la dérivée seconde f″(x) et l'équation de la tangente en ce point. Les angles sont interprétés en radians.
Calculatrice de dérivées
f′(x) · tangenteComment calculer la dérivée
- Saisissez la fonction f(x). Par exemple
x^3-2xousin(x). - Saisissez le point x. Le point où la dérivée est calculée.
- Calculer. Vous obtenez la valeur de f′(x) au point, la dérivée seconde et l'équation de la tangente.
Que révèle la dérivée ?
La dérivée décrit le taux de variation de la fonction, c'est-à-dire la pente de la courbe en un point donné. Quand la dérivée est positive, la fonction croît ; quand elle est négative, la fonction décroît ; et quand la dérivée est nulle, il peut s'agir d'un maximum ou d'un minimum. La tangente est une droite qui touche la courbe au point et dont la pente est exactement la valeur de la dérivée.
| Fonction | Dérivée | f′ au point |
|---|---|---|
| x² | 2x | x=3 → 6 |
| x³−2x | 3x²−2 | x=2 → 10 |
| sin(x) | cos(x) | x=0 → 1 |
| ln(x) | 1/x | x=2 → 0,5 |
Précision numérique
La calculatrice estime la dérivée numériquement à l'aide de la différence centrale, qui donne un résultat très précis pour les fonctions ordinaires. La méthode convient à toutes les fonctions prises en charge par le navigateur, sans que vous ayez à dériver à la main. Aux points très raides ou discontinus, l'approximation peut s'écarter, vérifiez donc le résultat pour de telles fonctions.
Exemple : vitesse et accélération
En physique, la dérivée décrit le taux de variation. Si la position d'un corps en fonction du temps est s(t) = 5t², sa vitesse est la dérivée de la position : s′(t) = 10t. À l'instant t = 3, la vitesse est 10 · 3 = 30. La dérivée de la vitesse, quant à elle, est l'accélération, ici la constante 10. Le même raisonnement vaut en économie (le coût marginal est la dérivée de la fonction de coût) et dans bien d'autres applications. La calculatrice donne directement la valeur de la dérivée au point choisi.
| Fonction | Dérivée | Au point |
|---|---|---|
| s(t)=5t² | 10t | t=3 → 30 |
| vitesse 10t | 10 | constante |
Règles de dérivation en bref
Il vaut la peine de retenir les briques de base : la dérivée d'une constante est 0, la dérivée de la puissance xⁿ est n·xⁿ⁻¹, et la dérivée d'une somme est la somme des dérivées. Le produit et le quotient ont leurs propres règles, et une fonction composée la règle de la chaîne. Les dérivées trigonométriques de base sont sin′ = cos et cos′ = −sin. Même si la calculatrice calcule la dérivée numériquement, connaître les règles aide à vérifier si le résultat est du bon ordre de grandeur.
Extrema et étude du comportement d'une fonction
L'une des applications les plus importantes de la dérivée est la recherche d'extrema. Aux maxima et minima d'une fonction, la tangente est horizontale, c'est-à-dire que la dérivée est nulle. En résolvant f′(x) = 0, vous trouvez les points extrêmes possibles, et le changement de signe de la dérivée indique s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum. Si la dérivée passe de positive à négative, la fonction a un maximum ; l'inverse donne un minimum.
Cela est exploité partout dans l'optimisation : chercher le prix le plus bas, le rendement le plus élevé ou la plus faible consommation de matière. La dérivée seconde complète le tableau en renseignant sur la courbure de la courbe — une dérivée seconde positive signifie une forme convexe (en forme de coupe) ouverte vers le haut. Lorsque vous calculez la valeur de la dérivée en un point avec cette calculatrice, vous obtenez la pente, et en l'examinant en différents points vous saisissez où la fonction croît, décroît et atteint ses extrema.
Bon à savoir sur la dérivée
- La dérivée d'une fonction constante est nulle, car sa valeur ne change pas.
- Les zéros de la dérivée sont des points extrêmes possibles (maxima ou minima).
- Une dérivée positive signifie une croissance, une négative une décroissance.
- La pente de la tangente en un point est exactement la valeur de la dérivée en ce point.
En résumé
La calculatrice de dérivées donne la dérivée d'une fonction en un point, la dérivée seconde et l'équation de la tangente. Saisissez la fonction et un point, et vous obtenez la pente et la tangente sans dériver à la main. La dérivée indique le taux de variation de la fonction et aide à trouver les extrema, ce qui est utile tant dans les études que dans l'optimisation. Les angles sont interprétés en radians, et l'outil calcule la valeur numériquement, il fonctionne donc avec toutes les fonctions prises en charge par le navigateur sans dérivation à la main.
Questions fréquentes
La dérivée est-elle calculée symboliquement ?
Dans quelle unité sont les angles ?
Est-ce que j'obtiens aussi l'équation de la tangente ?
Que révèle la dérivée seconde ?
Ce que disent les utilisateurs
L'équation de la tangente directement — exactement ce dont j'avais besoin pour l'examen.
La dérivée seconde est incluse, bon soutien pour l'analyse.
Les avis sont des exemples d'utilisations du site.