微分計算機
関数の ある点での導関数を計算 すばやく計算します。関数 f(x) と点を入力すると、その点での導関数の値 f′(x)、二階導関数 f″(x)、接線の方程式が得られます。角度はラジアンとして解釈されます。
微分計算機
f′(x) · 接線導関数の計算方法
- 関数 f(x) を入力してください。 例えば
x^3-2xまたはsin(x)。 - 点 x を入力する。 導関数を計算する点です。
- 計算。 その点での f′(x) の値、二階導関数、接線の方程式が得られます。
導関数は何を表しますか？
導関数は、関数の変化率、すなわちある点での曲線の傾きを表します。導関数が正のとき関数は増加し、負のとき関数は減少し、ゼロのときはそこが極大点または極小点である可能性があります。接線は、その点で曲線に接する直線で、その傾きはまさに導関数の値です。
| 関数 | 導関数 | その点での f′ |
|---|---|---|
| x² | 2x | x=3 → 6 |
| x³−2x | 3x²−2 | x=2 → 10 |
| sin(x) | cos(x) | x=0 → 1 |
| ln(x) | 1/x | x=2 → 0,5 |
数値的な精度
この計算ツールは、中心差分を使って導関数を数値的に推定します。これは通常の関数に対して非常に正確な結果を与えます。この手法は、手で導関数を求める必要なく、ブラウザが対応するすべての関数に使えます。非常に急な点や不連続な点では近似がずれることがあるので、そのような関数では結果を確認してください。
例：速度と加速度
物理では、導関数は変化率を表します。物体の位置が時間の関数として s(t) = 5t² なら、その速度は位置の導関数 s′(t) = 10t です。時刻 t = 3 での速度は 10 · 3 = 30 です。一方、速度の導関数は加速度で、ここでは定数 10 です。同じ考え方は経済学（限界費用は費用関数の導関数）や他の多くの応用でも通用します。計算ツールは、選んだ点での導関数の値を直接求めます。
| 関数 | 導関数 | その点で |
|---|---|---|
| s(t)=5t² | 10t | t=3 → 30 |
| 速度 10t | 10 | 定数 |
微分の規則（簡潔に）
基本要素は覚えておくとよいでしょう。定数の導関数は 0、べき乗 xⁿ の導関数は n·xⁿ⁻¹、和の導関数は各導関数の和です。積と商にはそれぞれ専用の規則があり、合成関数には連鎖律があります。三角関数の基本的な導関数は sin′ = cos、cos′ = −sin です。計算ツールは導関数を数値的に計算しますが、規則を知っておくと、結果の桁が正しいかどうかを確認するのに役立ちます。
極値と関数の挙動の調べ方
導関数の最も重要な応用の一つは、極値を見つけることです。関数の極大点と極小点では接線が水平、すなわち導関数がゼロになります。f′(x) = 0 を解くことで極値の候補となる点が見つかり、導関数の符号の変化が、それが極大か極小かを示します。導関数が正から負に変わると関数は極大となり、逆の場合は極小となります。
これはあらゆる最適化で活用されます。最も安い価格、最も大きな収益、最も少ない材料消費を求めるといった場面です。二階導関数は曲線の曲がり具合を示すことで、全体像を補完します。正の二階導関数は下に凸（お椀型）の形を意味します。この計算ツールである点での導関数の値を計算すると傾きが得られ、それをさまざまな点で調べることで、関数がどこで増加・減少し、極値に達するかが分かります。
導関数について知っておくとよいこと
- 定数関数の導関数はゼロです。値が変化しないからです。
- 導関数の零点は、極値の候補となる点（極大または極小）です。
- 正の導関数は増加を、負の導関数は減少を意味します。
- ある点での接線の傾きは、まさにその点での導関数の値です。
まとめ
導関数計算ツールは、ある点での関数の導関数、二階導関数、接線の方程式を求めます。関数と点を入力すると、手で微分することなく傾きと接線が得られます。導関数は関数の変化率を表し、極値を見つけるのに役立つので、学習にも最適化にも有用です。角度はラジアンとして解釈され、ツールは値を数値的に計算するため、手で導出することなく、ブラウザが対応するすべての関数で動作します。
よくある質問
導関数は記号的に計算されますか？
角度の単位は何ですか？
接線の方程式も得られますか？
二階導関数は何を表しますか？
利用者の声
接線の方程式がすぐに出ます。試験に必要だったものそのものです。
二階導関数も付いていて、解析の助けになります。
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