Calculadora de polinómios

Como inserir um polinômio

1. Write the coefficients in order. Do maior grau para o menor, separados por espaços. Ex.: x³−6x²+11x−6 → 1 -6 11 -6.
2. Marque os termos ausentes com zero. Por exemplo, x²−2 é escrito 1 0 -2.
3. Calcule as raízes. Você obtém as raízes, o grau e a derivada. As raízes complexas são mostradas na forma a ± bi.

As raízes e o grau de um polinômio

The degree of a polynomial is its highest power, and it tells the maximum number of roots. A second-degree polynomial has at most two roots, a third-degree polynomial three, and so on. Some of the roots may be complex, in which case they occur as conjugate pairs. The calculator uses an established numerical method that finds all the roots at once.

Derivative and use

A calculadora também mostra a derivada do polinômio, obtida pela regra da potência: o termo a·xⁿ torna-se n·a·xⁿ⁻¹. A derivada descreve a inclinação da curva e ajuda a encontrar extremos. Os polinômios são usados para modelagem em engenharia, economia e ciências naturais, e suas raízes correspondem aos pontos em que a grandeza modelada assume o valor zero.

Exemplo: um polinômio do terceiro grau

Considere o polinômio x³ − 6x² + 11x − 6, cujos coeficientes são inseridos como 1 -6 11 -6. A calculadora encontra as raízes 1, 2 e 3. Você pode verificar uma raiz por substituição: 1³ − 6·1² + 11·1 − 6 = 1 − 6 + 11 − 6 = 0, portanto x = 1 é raiz. O polinômio pode então ser escrito na forma de produto (x−1)(x−2)(x−3). Um polinômio de terceiro grau tem no máximo três raízes, e aqui elas são todas reais e distintas.

Dos coeficientes às raízes

Há uma conexão prática entre as raízes e os coeficientes. Para um polinômio de segundo grau x² + bx + c, a soma das raízes é −b e o produto é c. No exemplo de terceiro grau acima, a soma das raízes 1 + 2 + 3 = 6 corresponde ao coeficiente do segundo termo de maior grau (com o sinal trocado), e o produto das raízes 1·2·3 = 6 corresponde ao termo constante. Essas relações ajudam a intuir as raízes e a verificar rapidamente o resultado da calculadora.

Fatoração e divisão de polinômios

As raízes e os fatores de um polinômio estão intimamente conectados. Se um número r é raiz do polinômio, então (x − r) é um fator dele. Por exemplo, quando as raízes de x² − 5x + 6 são 2 e 3, o polinômio se fatora como (x − 2)(x − 3). A fatoração é uma forma eficaz de resolver e simplificar: a partir da forma de produto, as raízes são vistas diretamente, e as expressões podem ser reduzidas.

Polinômios também podem ser divididos entre si como inteiros, resultando em um quociente e um possível resto. Se a divisão for exata, o divisor é um fator. Isso é usado, por exemplo, quando uma raiz é conhecida e você quer reduzir o grau do polinômio para encontrar as raízes restantes. A calculadora de polinômios fornece as raízes diretamente, mas compreender a ideia de fatoração ajuda a entender por que há um determinado número de raízes e como elas se relacionam com os coeficientes.

Bom saber sobre polinômios

• Um polinômio de grau n tem exatamente n raízes quando as complexas e múltiplas são contadas.
• As raízes complexas de um polinômio com coeficientes reais sempre ocorrem em pares conjugados a ± bi.
• O termo constante é o valor do polinômio em x = 0.
• Se a soma dos coeficientes for zero, x = 1 é raiz — uma verificação rápida prática.

Em resumo

A calculadora de polinômios encontra as raízes — inclusive as complexas — bem como o grau e a derivada apenas a partir dos coeficientes. Insira os coeficientes do maior grau para o menor e marque os termos ausentes com zero. A ferramenta mostra todas as raízes de uma só vez e, com as relações entre raízes e coeficientes, você pode verificar rapidamente o resultado.

Perguntas frequentes