Polinom hesaplayıcı

Bir polinom nasıl girilir

1. Katsayıları sırayla yazın. En yüksek dereceden en düşüğe, boşluklarla. Örn. x³−6x²+11x−6 → 1 -6 11 -6.
2. Eksik terimleri sıfırla işaretleyin. Örneğin x²−2 şu şekilde yazılır 1 0 -2.
3. Kökleri hesapla. Kökleri, dereceyi ve türevi alırsınız. Karmaşık kökler a ± bi biçiminde gösterilir.

Polinomun kökleri ve derecesi

Bir polinomun derecesi en yüksek kuvvetidir ve maksimum kök sayısını söyler. İkinci dereceden bir polinomun en fazla iki kökü vardır, üçüncü dereceden bir polinomun üç ve benzeri. Köklerin bazıları karmaşık olabilir, bu durumda eşlenik çiftler halinde ortaya çıkarlar. Hesap makinesi tüm kökleri bir kerede bulan yerleşik bir sayısal yöntem kullanır.

Türev ve kullanımı

Hesap makinesi ayrıca kuvvet kuralıyla elde edilen polinomun türevini de gösterir: a·xⁿ terimi n·a·xⁿ⁻¹ olur. Türev eğrinin eğimini tanımlar ve uç değerleri bulmaya yardımcı olur. Polinomlar mühendislik, ekonomi ve doğa bilimlerinde modelleme için kullanılır ve kökleri modellenen niceliğin sıfır değerini aldığı noktalara karşılık gelir.

Örnek: üçüncü dereceden bir polinom

Katsayıları şu şekilde girilen x³ − 6x² + 11x − 6 polinomunu ele alalım 1 -6 11 -6. Hesap makinesi 1, 2 ve 3 köklerini bulur. Bir kökü yerine koyarak kontrol edebilirsiniz: 1³ − 6·1² + 11·1 − 6 = 1 − 6 + 11 − 6 = 0, yani x = 1 bir köktür. Polinom o zaman çarpım biçiminde (x−1)(x−2)(x−3) olarak yazılabilir. Üçüncü dereceden bir polinomun en fazla üç kökü vardır ve burada hepsi gerçek ve farklıdır.

Katsayılardan köklere

Kökler ve katsayılar arasında kullanışlı bir bağlantı vardır. İkinci dereceden bir polinom x² + bx + c için, köklerin toplamı −b ve çarpımı c'dir. Yukarıdaki üçüncü dereceden örnekte, köklerin toplamı 1 + 2 + 3 = 6 ikinci en yüksek terimin katsayısına (işareti değişmiş olarak) karşılık gelir ve köklerin çarpımı 1·2·3 = 6 sabit terime karşılık gelir. Bu ilişkiler kökleri tahmin etmenize ve hesap makinesinin sonucunu hızlıca kontrol etmenize yardımcı olur.

Çarpanlara ayırma ve polinomların bölmesi

Bir polinomun kökleri ve çarpanları yakından bağlantılıdır. Eğer bir r sayısı polinomun bir kökü ise, o zaman (x − r) onun bir çarpanıdır. Örneğin x² − 5x + 6'nın kökleri 2 ve 3 olduğunda, polinom (x − 2)(x − 3) olarak çarpanlarına ayrılır. Çarpanlarına ayırma çözmenin ve sadeleştirmenin etkili bir yoludur: çarpım biçiminden kökler doğrudan görülür ve ifadeler indirgenebilir.

Polinomlar da tam sayılar gibi birbirine bölünebilir, bir bölüm ve olası bir kalan verir. Bölme tam çıkarsa, bölen bir çarpandır. Bu, örneğin bir kök bilindiğinde ve kalan kökleri bulmak için polinomun derecesini düşürmek istediğinizde kullanılır. Polinom hesap makinesi kökleri doğrudan verir, ancak çarpanlara ayırma fikrini anlamak, neden belirli sayıda kök olduğunu ve bunların katsayılarla nasıl ilişkili olduğunu kavramanıza yardımcı olur.

Polinomlar hakkında bilinmesi gerekenler

• Derece-n polinomunun karmaşık ve katlı olanlar sayıldığında tam olarak n kökü vardır.
• Reel katsayılı bir polinomun karmaşık kökleri her zaman a ± bi eşlenik çiftleri halinde ortaya çıkar.
• Sabit terim, polinomun x = 0'daki değeridir.
• Katsayıların toplamı sıfırsa, x = 1 bir köktür — kullanışlı bir hızlı kontrol.

Özetle

Polinom hesap makinesi karmaşık olanlar da dahil olmak üzere kökleri ve yalnızca katsayılardan dereceyi ve türevi bulur. Katsayıları en yüksek dereceden en düşüğe doğru girin ve eksik terimleri sıfırla işaretleyin. Araç tüm kökleri bir kerede gösterir ve kökler ile katsayılar arasındaki ilişkilerle sonucu hızlıca kontrol edebilirsiniz.

Sık sorulan sorular