Calcolatore di polinomi

Come inserire un polinomio

1. Scrivete i coefficienti in ordine. Dal grado più alto al più basso, separati da spazi. Es. x³−6x²+11x−6 → 1 -6 11 -6.
2. Contrassegnate i termini mancanti con uno zero. Ad esempio, x²−2 si scrive 1 0 -2.
3. Calcolate le radici. Ottenete le radici, il grado e la derivata. Le radici complesse sono mostrate nella forma a ± bi.

Le radici e il grado di un polinomio

Il grado di un polinomio è la sua potenza più alta, e indica il numero massimo di radici. Un polinomio di secondo grado ha al massimo due radici, uno di terzo grado tre, e così via. Alcune delle radici possono essere complesse, nel qual caso si presentano come coppie coniugate. La calcolatrice utilizza un metodo numerico consolidato che trova tutte le radici in una sola volta.

Derivata e uso

La calcolatrice mostra anche la derivata del polinomio, ottenuta con la regola della potenza: il termine a·xⁿ diventa n·a·xⁿ⁻¹. La derivata descrive la pendenza della curva e aiuta a trovare gli estremi. I polinomi vengono utilizzati per modellare in ingegneria, economia e scienze naturali, e le loro radici corrispondono ai punti in cui la quantità modellata assume valore zero.

Esempio: un polinomio di terzo grado

Consideriamo il polinomio x³ − 6x² + 11x − 6, i cui coefficienti si inseriscono come 1 -6 11 -6. La calcolatrice trova le radici 1, 2 e 3. Potete verificare una radice per sostituzione: 1³ − 6·1² + 11·1 − 6 = 1 − 6 + 11 − 6 = 0, quindi x = 1 è una radice. Il polinomio può quindi essere scritto in forma prodotto (x−1)(x−2)(x−3). Un polinomio di terzo grado ha al massimo tre radici, e qui sono tutte reali e distinte.

Dai coefficienti alle radici

Esiste un pratico legame tra le radici e i coefficienti. Per un polinomio di secondo grado x² + bx + c, la somma delle radici è −b e il prodotto è c. Nell'esempio di terzo grado qui sopra, la somma delle radici 1 + 2 + 3 = 6 corrisponde al coefficiente del termine di grado secondo più alto (con segno cambiato), e il prodotto delle radici 1·2·3 = 6 corrisponde al termine costante. Queste relazioni aiutano a indovinare le radici e a controllare rapidamente il risultato della calcolatrice.

Fattorizzazione e divisione dei polinomi

Le radici e i fattori di un polinomio sono strettamente collegati. Se un numero r è una radice del polinomio, allora (x − r) è un suo fattore. Ad esempio, quando le radici di x² − 5x + 6 sono 2 e 3, il polinomio si scompone in (x − 2)(x − 3). La fattorizzazione è un modo efficace per risolvere e semplificare: dalla forma prodotto le radici si vedono direttamente e le espressioni possono essere ridotte.

I polinomi possono anche essere divisi tra loro come gli interi, dando un quoziente e un possibile resto. Se la divisione è esatta, il divisore è un fattore. Ciò viene utilizzato, ad esempio, quando una radice è nota e si desidera ridurre il grado del polinomio per trovare le radici rimanenti. La calcolatrice dei polinomi fornisce direttamente le radici, ma comprendere l'idea della fattorizzazione aiuta a capire perché c'è un certo numero di radici e come si relazionano ai coefficienti.

Buono a sapersi sui polinomi

• Un polinomio di grado n ha esattamente n radici quando si contano quelle complesse e multiple.
• Le radici complesse di un polinomio a coefficienti reali si presentano sempre come coppie coniugate a ± bi.
• Il termine costante è il valore del polinomio in x = 0.
• Se la somma dei coefficienti è zero, x = 1 è una radice — una comoda verifica rapida.

In sintesi

La calcolatrice dei polinomi trova le radici — comprese quelle complesse — insieme al grado e alla derivata solo dai coefficienti. Inserite i coefficienti dal grado più alto al più basso e contrassegnate i termini mancanti con uno zero. Lo strumento mostra tutte le radici in una sola volta, e con le relazioni tra radici e coefficienti potete rapidamente controllare il risultato.

Domande frequenti