多項式計算機

多項式の入力方法

1. 係数を順番に書く。 高次から低次へ、スペースで区切って。例：x³−6x²+11x−6 → 1 -6 11 -6。
2. 抜けている項はゼロで示す。 例えば x²−2 は次のように書きます 1 0 -2。
3. 根を計算する。 根、次数、導関数が得られます。複素根は a ± bi の形で表示されます。

多項式の根と次数

多項式の次数はその最高べきであり、根の最大個数を示します。2 次多項式は最大 2 個、3 次多項式は 3 個、というように根を持ちます。根の一部は複素数のことがあり、その場合は共役対として現れます。計算ツールは確立された数値的手法を使い、すべての根を一度に見つけます。

導関数とその使い方

計算ツールは多項式の導関数も表示します。導関数はべき乗の規則で得られ、項 a·xⁿ は n·a·xⁿ⁻¹ になります。導関数は曲線の傾きを表し、極値を見つけるのに役立ちます。多項式は工学・経済・自然科学のモデル化に使われ、その根はモデル化された量がゼロになる点に対応します。

例：3 次多項式

多項式 x³ − 6x² + 11x − 6 を考えます。その係数は次の形で入力します 1 -6 11 -6。計算ツールは根 1、2、3 を見つけます。代入して 1 つの根を確認できます：1³ − 6·1² + 11·1 − 6 = 1 − 6 + 11 − 6 = 0 なので、x = 1 は根です。このとき多項式は積の形 (x−1)(x−2)(x−3) で書けます。3 次多項式は最大 3 個の根を持ち、ここではそれらはすべて実数で互いに異なります。

係数から根へ

根と係数の間には便利な関係があります。2 次多項式 x² + bx + c では、根の和は −b、積は c です。上の 3 次の例では、根の和 1 + 2 + 3 = 6 が 2 番目に高い項の係数（符号を変えたもの）に対応し、根の積 1·2·3 = 6 が定数項に対応します。これらの関係は、根を推測したり、計算ツールの結果をすばやく確認したりするのに役立ちます。

因数分解と多項式の割り算

多項式の根と因数は密接に結びついています。数 r が多項式の根なら、(x − r) はその因数です。例えば x² − 5x + 6 の根が 2 と 3 のとき、多項式は (x − 2)(x − 3) の形に分解されます。因数分解は解いたり整理したりする効果的な方法です。積の形からは根が直接見え、式を約分できます。

多項式は整数のように互いに割ることもでき、その結果として商と、場合によっては余りが得られます。割り切れれば、割る式は因数です。これは例えば、1 つの根が分かっていて、残りの根を見つけるために多項式の次数を下げたいときに使います。多項式計算ツールは根を直接求めますが、因数分解の考え方を理解しておくと、なぜ根が一定の個数あるのか、それらが係数とどう関係するのかを把握しやすくなります。

多項式について知っておくとよいこと

• n 次多項式は、複素根と重根を数に入れると、ちょうど n 個の根を持ちます。
• 実係数の多項式の複素根は、常に共役対 a ± bi として現れます。
• 定数項は、x = 0 での多項式の値です。
• 係数の和がゼロなら、x = 1 は根です。便利な素早い確認方法です。

まとめ

多項式計算ツールは、係数だけから根（複素根も含む）と次数・導関数を求めます。係数を高次から低次へ入力し、抜けている項はゼロで示してください。ツールはすべての根を一度に表示し、根と係数の関係を使えば結果をすばやく確認できます。

よくある質問