Calculadora de polinomios

Cómo introducir un polinomio

1. Escribe los coeficientes en orden. Del grado mayor al menor, separados por espacios. P. ej. x³−6x²+11x−6 → 1 -6 11 -6.
2. Marca los términos que faltan con un cero. Por ejemplo, x²−2 se escribe 1 0 -2.
3. Calcula las raíces. Obtienes las raíces, el grado y la derivada. Las raíces complejas se muestran en la forma a ± bi.

Las raíces y el grado de un polinomio

El grado de un polinomio es su potencia más alta e indica el número máximo de raíces. Un polinomio de segundo grado tiene como máximo dos raíces, uno de tercer grado tres, y así sucesivamente. Algunas de las raíces pueden ser complejas, en cuyo caso aparecen como pares conjugados. La calculadora usa un método numérico consolidado que encuentra todas las raíces de una vez.

Derivada y uso

La calculadora también muestra la derivada del polinomio, que se obtiene con la regla de la potencia: el término a·xⁿ se convierte en n·a·xⁿ⁻¹. La derivada describe la pendiente de la curva y ayuda a encontrar los extremos. Los polinomios se usan para modelar en ingeniería, economía y ciencias naturales, y sus raíces corresponden a los puntos donde la magnitud modelada toma el valor cero.

Ejemplo: un polinomio de tercer grado

Consideremos el polinomio x³ − 6x² + 11x − 6, cuyos coeficientes se introducen como 1 -6 11 -6. La calculadora encuentra las raíces 1, 2 y 3. Puedes comprobar una raíz por sustitución: 1³ − 6·1² + 11·1 − 6 = 1 − 6 + 11 − 6 = 0, así que x = 1 es una raíz. El polinomio puede entonces escribirse en forma de producto (x−1)(x−2)(x−3). Un polinomio de tercer grado tiene como máximo tres raíces, y aquí son todas reales y distintas.

De los coeficientes a las raíces

Existe una conexión práctica entre las raíces y los coeficientes. Para un polinomio de segundo grado x² + bx + c, la suma de las raíces es −b y el producto es c. En el ejemplo de tercer grado de arriba, la suma de las raíces 1 + 2 + 3 = 6 corresponde al coeficiente del segundo término más alto (con el signo cambiado), y el producto de las raíces 1·2·3 = 6 corresponde al término constante. Estas relaciones ayudan a adivinar raíces y a comprobar rápidamente el resultado de la calculadora.

Factorización y división de polinomios

Las raíces y los factores de un polinomio están estrechamente relacionados. Si un número r es una raíz del polinomio, entonces (x − r) es un factor suyo. Por ejemplo, cuando las raíces de x² − 5x + 6 son 2 y 3, el polinomio se descompone en (x − 2)(x − 3). La factorización es una forma eficaz de resolver y simplificar: en la forma de producto las raíces se ven directamente, y las expresiones pueden reducirse.

Los polinomios también pueden dividirse entre sí como los enteros, dando un cociente y un posible resto. Si la división es exacta, el divisor es un factor. Esto se usa, por ejemplo, cuando se conoce una raíz y se quiere reducir el grado del polinomio para encontrar las raíces restantes. La calculadora de polinomios da las raíces directamente, pero entender la idea de la factorización ayuda a comprender por qué hay un número determinado de raíces y cómo se relacionan con los coeficientes.

Conviene saber sobre los polinomios

• Un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces cuando se cuentan las complejas y las múltiples.
• Las raíces complejas de un polinomio con coeficientes reales aparecen siempre como pares conjugados a ± bi.
• El término constante es el valor del polinomio en x = 0.
• Si la suma de los coeficientes es cero, x = 1 es una raíz: una comprobación rápida y útil.

En resumen

La calculadora de polinomios encuentra las raíces —también las complejas— así como el grado y la derivada solo a partir de los coeficientes. Introduce los coeficientes del grado mayor al menor y marca los términos que faltan con un cero. La herramienta muestra todas las raíces de una vez, y con las relaciones entre raíces y coeficientes puedes comprobar el resultado rápidamente.

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