Calculatrice de polynômes

Comment saisir un polynôme

1. Écrivez les coefficients dans l'ordre. Du degré le plus élevé au plus bas, séparés par des espaces. P. ex. x³−6x²+11x−6 → 1 -6 11 -6.
2. Notez les termes manquants par un zéro. Par exemple, x²−2 s'écrit 1 0 -2.
3. Calculez les racines. Vous obtenez les racines, le degré et la dérivée. Les racines complexes sont affichées sous la forme a ± bi.

Les racines et le degré d'un polynôme

Le degré d'un polynôme est sa puissance la plus élevée et indique le nombre maximal de racines. Un polynôme du second degré a au plus deux racines, un du troisième degré trois, et ainsi de suite. Certaines racines peuvent être complexes, auquel cas elles apparaissent par paires conjuguées. La calculatrice utilise une méthode numérique éprouvée qui trouve toutes les racines à la fois.

Dérivée et utilisation

La calculatrice affiche aussi la dérivée du polynôme, obtenue avec la règle de la puissance : le terme a·xⁿ devient n·a·xⁿ⁻¹. La dérivée décrit la pente de la courbe et aide à trouver les extrema. Les polynômes servent à la modélisation en ingénierie, en économie et en sciences naturelles, et leurs racines correspondent aux points où la grandeur modélisée prend la valeur zéro.

Exemple : un polynôme du troisième degré

Considérons le polynôme x³ − 6x² + 11x − 6, dont les coefficients se saisissent sous la forme 1 -6 11 -6. La calculatrice trouve les racines 1, 2 et 3. Vous pouvez vérifier une racine par substitution : 1³ − 6·1² + 11·1 − 6 = 1 − 6 + 11 − 6 = 0, donc x = 1 est une racine. Le polynôme peut alors s'écrire sous forme de produit (x−1)(x−2)(x−3). Un polynôme du troisième degré a au plus trois racines, et ici elles sont toutes réelles et distinctes.

Des coefficients aux racines

Il existe un lien pratique entre les racines et les coefficients. Pour un polynôme du second degré x² + bx + c, la somme des racines est −b et le produit est c. Dans l'exemple du troisième degré ci-dessus, la somme des racines 1 + 2 + 3 = 6 correspond au coefficient du deuxième terme le plus élevé (avec le signe changé), et le produit des racines 1·2·3 = 6 correspond au terme constant. Ces relations aident à deviner les racines et à vérifier rapidement le résultat de la calculatrice.

Factorisation et division de polynômes

Les racines et les facteurs d'un polynôme sont étroitement liés. Si un nombre r est une racine du polynôme, alors (x − r) en est un facteur. Par exemple, lorsque les racines de x² − 5x + 6 sont 2 et 3, le polynôme se factorise en (x − 2)(x − 3). La factorisation est un moyen efficace de résoudre et de simplifier : sous la forme de produit, les racines se voient directement, et les expressions peuvent être réduites.

Les polynômes peuvent aussi se diviser entre eux comme les entiers, donnant un quotient et un reste éventuel. Si la division tombe juste, le diviseur est un facteur. Cela sert, par exemple, lorsqu'une racine est connue et que l'on veut réduire le degré du polynôme pour trouver les racines restantes. La calculatrice de polynômes donne les racines directement, mais comprendre l'idée de la factorisation aide à saisir pourquoi il y a un certain nombre de racines et comment elles se rapportent aux coefficients.

Bon à savoir sur les polynômes

• Un polynôme de degré n a exactement n racines lorsqu'on compte les complexes et les multiples.
• Les racines complexes d'un polynôme à coefficients réels apparaissent toujours par paires conjuguées a ± bi.
• Le terme constant est la valeur du polynôme en x = 0.
• Si la somme des coefficients est nulle, x = 1 est une racine — une vérification rapide et pratique.

En résumé

La calculatrice de polynômes trouve les racines — y compris complexes — ainsi que le degré et la dérivée à partir des seuls coefficients. Saisissez les coefficients du degré le plus élevé au plus bas et notez les termes manquants par un zéro. L'outil affiche toutes les racines à la fois, et grâce aux relations entre racines et coefficients vous pouvez vérifier le résultat rapidement.

Questions fréquentes