多项式计算器

如何输入多项式

1. 按顺序输入系数。 从最高次到最低次，用空格分隔。例如 x³−6x²+11x−6 → 1 -6 11 -6.
2. 缺失的项用零标记。 例如 x²−2 写作 1 0 -2.
3. 计算根。 你会得到根、次数和导数。复根以 a ± bi 的形式显示。

多项式的根与次数

多项式的次数是其最高次幂，它说明根的最大个数。二次多项式最多有两个根，三次多项式三个，依此类推。部分根可能是复数，此时它们成共轭对出现。计算器使用成熟的数值方法，一次性找出所有根。

导数及应用

计算器还会显示多项式的导数，用幂法则求得：项 a·xⁿ 变为 n·a·xⁿ⁻¹。导数描述曲线的斜率，有助于寻找极值。多项式用于工程、经济和自然科学中的建模，其根对应于被建模量取值为零的点。

示例：三次多项式

考察多项式 x³ − 6x² + 11x − 6，其系数输入为 1 -6 11 -6。计算器找到根 1、2 和 3。你可以通过代入检验一个根：1³ − 6·1² + 11·1 − 6 = 1 − 6 + 11 − 6 = 0，因此 x = 1 是一个根。此时多项式可写成乘积形式 (x−1)(x−2)(x−3)。三次多项式最多有三个根，这里它们都是实数且互不相同。

从系数到根

根与系数之间有一个便利的联系。对于二次多项式 x² + bx + c，根之和为 −b，根之积为 c。在上面的三次示例中，根之和 1 + 2 + 3 = 6 对应次高次项的系数（符号取反），根之积 1·2·3 = 6 对应常数项。这些关系有助于猜测根并快速核对计算器的结果。

因式分解与多项式除法

多项式的根与因式密切相关。如果数 r 是多项式的根，那么 (x − r) 就是它的一个因式。例如当 x² − 5x + 6 的根为 2 和 3 时，多项式分解为 (x − 2)(x − 3)。因式分解是求解和化简的有效方法：从乘积形式可以直接看出根，表达式也可以约简。

多项式之间也可以像整数一样相除，得到商和可能的余数。如果除得尽，除式就是一个因式。这用于例如已知一个根、想降低多项式次数以找出其余根的情形。多项式计算器直接给出根，但理解因式分解的思想有助于领会为什么会有特定数量的根，以及它们与系数的关系。

关于多项式的须知

• n 次多项式恰好有 n 个根，将复根和重根计入在内。
• 实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± bi 出现。
• 常数项是多项式在 x = 0 处的值。
• 如果系数之和为零，则 x = 1 是一个根——一个便利的快速检验。

小结

多项式计算器仅从系数就能找出根（包括复根）以及次数和导数。从最高次到最低次输入系数，缺失的项用零标记。工具一次性显示所有根，借助根与系数的关系，你可以快速核对结果。

常见问题