다항식 계산기

다항식 입력 방법

1. 계수를 순서대로 입력하세요. 높은 차수부터 낮은 차수로, 공백으로 구분해서. 예: x³−6x²+11x−6 → 1 -6 11 -6.
2. 빠진 항은 0으로 표시하세요. 예를 들어 x²−2는 다음과 같이 씁니다 1 0 -2.
3. 근을 계산하세요. 근, 차수, 도함수가 나옵니다. 복소근은 a ± bi 꼴로 표시됩니다.

다항식의 근과 차수

다항식의 차수는 그 최고차이며, 근의 최대 개수를 알려줍니다. 2차 다항식은 최대 두 개, 3차 다항식은 세 개, 이런 식으로 근을 가집니다. 근의 일부는 복소수일 수 있으며, 그럴 때는 켤레쌍으로 나타납니다. 계산기는 확립된 수치적 방법을 사용하여 모든 근을 한 번에 찾습니다.

도함수와 활용

계산기는 다항식의 도함수도 보여줍니다. 도함수는 거듭제곱 규칙으로 얻어지며, 항 a·xⁿ은 n·a·xⁿ⁻¹이 됩니다. 도함수는 곡선의 기울기를 나타내며 극값을 찾는 데 도움이 됩니다. 다항식은 공학·경제·자연과학에서 모델링에 쓰이며, 그 근은 모델링된 양이 0이 되는 점에 대응합니다.

예: 3차 다항식

다항식 x³ − 6x² + 11x − 6을 살펴봅시다. 그 계수는 다음 꼴로 입력합니다 1 -6 11 -6. 계산기는 근 1, 2, 3을 찾습니다. 대입으로 한 근을 확인할 수 있습니다: 1³ − 6·1² + 11·1 − 6 = 1 − 6 + 11 − 6 = 0이므로 x = 1은 근입니다. 그러면 다항식은 곱의 꼴 (x−1)(x−2)(x−3)으로 쓸 수 있습니다. 3차 다항식은 최대 세 개의 근을 가지며, 여기서는 모두 실수이고 서로 다릅니다.

계수에서 근으로

근과 계수 사이에는 편리한 관계가 있습니다. 2차 다항식 x² + bx + c에서 근의 합은 −b이고 곱은 c입니다. 위의 3차 예에서 근의 합 1 + 2 + 3 = 6은 두 번째로 높은 항의 계수(부호를 바꾼 것)에 대응하고, 근의 곱 1·2·3 = 6은 상수항에 대응합니다. 이 관계들은 근을 추측하고 계산기의 결과를 빠르게 확인하는 데 도움이 됩니다.

인수분해와 다항식의 나눗셈

다항식의 근과 인수는 밀접하게 연결되어 있습니다. 수 r이 다항식의 근이면 (x − r)은 그 인수입니다. 예를 들어 x² − 5x + 6의 근이 2와 3일 때, 다항식은 (x − 2)(x − 3) 꼴로 분해됩니다. 인수분해는 풀고 정리하는 효과적인 방법입니다. 곱의 꼴에서는 근이 바로 보이고, 식을 약분할 수 있습니다.

다항식은 정수처럼 서로 나눌 수도 있으며, 그 결과로 몫과, 경우에 따라 나머지가 나옵니다. 나누어떨어지면 나누는 식은 인수입니다. 이는 예를 들어 한 근을 알고 있어서 나머지 근을 찾기 위해 다항식의 차수를 낮추고 싶을 때 사용합니다. 다항식 계산기는 근을 바로 구하지만, 인수분해의 발상을 이해하면 왜 근이 일정한 개수인지, 그것들이 계수와 어떻게 관계되는지 파악하는 데 도움이 됩니다.

다항식에 대해 알아두면 좋은 점

• n차 다항식은 복소근과 중근을 세면 정확히 n개의 근을 가집니다.
• 실계수 다항식의 복소근은 항상 켤레쌍 a ± bi로 나타납니다.
• 상수항은 x = 0에서의 다항식 값입니다.
• 계수의 합이 0이면 x = 1은 근입니다. 편리한 빠른 확인법입니다.

요약

다항식 계산기는 계수만으로 근(복소근 포함)과 차수·도함수를 찾습니다. 계수를 높은 차수부터 낮은 차수로 입력하고 빠진 항은 0으로 표시하세요. 도구는 모든 근을 한 번에 보여주며, 근과 계수의 관계를 이용해 결과를 빠르게 확인할 수 있습니다.

자주 묻는 질문