Logarithmusrechner

Was ist ein Logarithmus?

Ein Logarithmus beantwortet die Frage: In welche Potenz muss die Basis erhoben werden, um die gegebene Zahl zu erhalten? Zum Beispiel log₁₀(1000) = 3, weil 10³ = 1000. Der Zehnerlogarithmus wird oft log geschrieben, der natürliche Logarithmus (Basis e ≈ 2,718) ln, und in der Informatik wird oft der Zweierlogarithmus log₂ verwendet.

So verwenden Sie den Rechner

1. Gib die Zahl ein. Der Numerus, also die Zahl, deren Logarithmus berechnet wird (muss größer als 0 sein).
2. Gib die Basis ein. 10, 2, e oder eine andere positive Zahl. Die Schnellwahlen log₁₀, ln und log₂ stehen bereit.
3. Berechnen. Das Ergebnis mit der gewählten Basis sowie log₁₀, ln und log₂ nebeneinander.

Basiswechselformel und Anwendung

Den Logarithmus einer beliebigen Basis kann man mit dem natürlichen oder dem Zehnerlogarithmus über die Basiswechselformel berechnen: log_b(x) = ln(x) / ln(b). Der Rechner nutzt dies intern, sodass du die Basis frei wählen kannst. Logarithmen werden zum Beispiel bei Lautstärke (Dezibel), Säuregrad (pH), Erdbeben (Richter) und Zinseszinsphänomenen benötigt.

Beispiel: pH und Lautstärke

Logarithmen kommen in vielen Skalen vor. Der Säuregrad wird durch den pH-Wert ausgedrückt, der −log₁₀(Wasserstoffionenkonzentration) ist. Beträgt die Konzentration 10⁻⁴ mol/l, ist pH = −log₁₀(10⁻⁴) = 4. Die Lautstärke wird in Dezibel gemessen, die logarithmisch sind: Die Schallleistung verzehnfacht sich pro 10 Dezibel. Deshalb ist 60 dB nicht doppelt so laut wie 30 dB, sondern tausendmal stärker. Der Logarithmus presst große Wertebereiche in handliche Zahlen.

Rechenregeln für Logarithmen

Die Grundformeln für Logarithmen folgen aus den Potenzregeln. Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen: log(xy) = log x + log y. Der Logarithmus eines Quotienten ist ihre Differenz: log(x/y) = log x − log y. Der Logarithmus einer Potenz zieht den Exponenten als Faktor heraus: log(xⁿ) = n·log x. Diese Regeln erklären, warum Logarithmen einst Multiplikationen in Additionen verwandelten und das Rechnen von Hand erleichterten. Mit der Basiswechselformel log_b(x) = ln x / ln b kannst du die Basis frei wechseln.

Logarithmische Skala in Diagrammen

Wenn die betrachteten Werte mehrere Größenordnungen umspannen, funktioniert eine gewöhnliche lineare Skala nicht: Die kleinen Werte werden unsichtbar gedrückt. Auf einer logarithmischen Skala entspricht jeder Schritt einer Multiplikation statt einer Addition – typischerweise einer Verzehnfachung. So passen sowohl kleine als auch große Werte lesbar in dasselbe Diagramm.

Logarithmische Skalen werden zum Beispiel bei der Richterskala für Erdbeben, bei Schalldezibel und bei langfristigen Wirtschaftswachstumskurven verwendet. Auf der Richterskala bedeutet ein Anstieg um eine Einheit etwa die zehnfache Energie, sodass ein Beben der Magnitude 6 enorm stärker ist als eines der Magnitude 5. Wenn du den Logarithmus verstehst, erschließen sich solche Skalen: Sie beschreiben nicht Addition, sondern Vervielfachung, und der Logarithmusrechner hilft, die Werte in beide Richtungen umzurechnen.

Wissenswertes über Logarithmen

• Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert; log(0) und der Logarithmus negativer Zahlen sind nicht reell.
• log(1) = 0 in jeder Basis, weil jede Zahl hoch 0 gleich 1 ist.
• log(Basis) = 1: zum Beispiel log₁₀(10) = 1 und ln(e) = 1.
• Der Logarithmus wächst langsam – eine Verzehnfachung der Zahl erhöht den Zehnerlogarithmus nur um eins.

Zusammengefasst

Der Logarithmusrechner berechnet den Logarithmus mit der von dir gewählten Basis und zeigt gleichzeitig log₁₀, ln und log₂. Gib die Zahl und die Basis ein, und das Werkzeug verwendet automatisch die Basiswechselformel. Logarithmen sind für viele Skalen zentral, etwa pH und Dezibel, und der Rechner rechnet die Werte mühelos um.

Häufig gestellte Fragen