Gleichungslöser

So löst du eine Gleichung

1. Schreibe die Gleichung. Zum Beispiel 2x^2-5x-3=0 oder 3(x-2)=9. Eine Potenz wird mit einem Dach geschrieben.
2. Verwende die vorgegebenen Beispiele. Tippe ein Beispiel an, um zu sehen, wie die Gleichung geschrieben wird.
3. Löse. Du erhältst die Lösungen und bei Gleichungen zweiten Grades auch die Diskriminante und die Schritte.

Gleichungen ersten und zweiten Grades

Eine Gleichung ersten Grades hat die Form ax + b = 0, und ihre Lösung ist x = −b/a. Eine Gleichung zweiten Grades ax² + bx + c = 0 wird mit der Lösungsformel gelöst, wobei die Diskriminante D = b² − 4ac die Anzahl der Lösungen angibt. Ist D > 0, gibt es zwei Lösungen; ist D = 0, eine doppelte; und ist D < 0, gibt es keine reellen Lösungen.

Und kompliziertere Gleichungen?

Enthält die Gleichung zum Beispiel trigonometrische Funktionen, Wurzeln oder höhere Potenzen, sucht der Löser die Lösungen numerisch in einem bestimmten Intervall. Das bedeutet, er findet die Stellen, an denen beide Seiten der Gleichung gleich sind. Die numerische Methode ist effizient, kann aber nur die Lösungen im betrachteten Intervall finden, daher sollten sehr große oder periodische Lösungen gesondert geprüft werden.

Beispiel: eine Gleichung zweiten Grades Schritt für Schritt

Lösen wir 2x² − 5x − 3 = 0 mit der Lösungsformel. Die Koeffizienten sind a = 2, b = −5, c = −3. Die Diskriminante D = b² − 4ac = (−5)² − 4·2·(−3) = 25 + 24 = 49. Da D > 0, gibt es zwei Lösungen. Die Quadratwurzel √49 = 7. Die Formel ergibt x = (5 ± 7) / 4. So ist x₁ = 12/4 = 3 und x₂ = −2/4 = −0,5. Der Rechner zeigt diese Schritte und das Endergebnis automatisch.

Von der Textaufgabe zur Gleichung

Viele Gleichungen entstehen aus einer Textaufgabe. Zum Beispiel wird „eine Zahl und ihr Quadrat ergeben zusammen 12" zu x + x² = 12, also x² + x − 12 = 0. Wenn du erkennst, was die Unbekannte ist, und die Bedingung als Gleichung schreibst, ist das Lösen unkompliziert. Denk daran zu prüfen, ob beide Lösungen in der Situation sinnvoll sind: Eine Länge kann zum Beispiel nicht negativ sein, daher wird eine negative Wurzel bei praktischen Aufgaben oft verworfen.

Gleichung, Ungleichung und Identität

Eine Gleichung behauptet, dass zwei Ausdrücke gleich sind, und sie wird gelöst, indem man die Werte der Unbekannten findet, die die Behauptung wahr machen. Nicht alle Gleichungen sind jedoch gleich. Eine Identität ist eine Gleichung, die für alle Werte der Variablen gilt, wie (a+b)² = a² + 2ab + b². Eine bedingte Gleichung dagegen gilt nur für bestimmte Werte, wie 2x + 1 = 7 nur für x = 3.

Eine Ungleichung wiederum vergleicht Größen mit den Zeichen <, >, ≤ oder ≥, und ihre Lösung ist oft ein Zahlenbereich statt eines einzelnen Werts. Ungleichungen werden weitgehend wie Gleichungen behandelt, aber mit einem wichtigen Unterschied: Wenn beide Seiten mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch sie geteilt werden, kehrt sich das Ungleichheitszeichen um. Dieser Rechner konzentriert sich auf Gleichungen, doch dieselben Vereinfachungsprinzipien helfen auch bei Ungleichungen.

Zusammengefasst

Der Gleichungslöser löst Gleichungen ersten und zweiten Grades exakt und andere numerisch. Schreibe die Gleichung mit der Unbekannten x und lies die Lösungen sowie bei Gleichungen zweiten Grades die Diskriminante und die Schritte. Indem du die Terme auf dieselbe Seite bringst, bekommst du die Gleichung in eine klare Form, die das Werkzeug zuverlässig löst.

Häufig gestellte Fragen