Integralrechner

So berechnest du das Integral

1. Geben Sie die Funktion f(x) ein. Zum Beispiel x^2 oder sin(x).
2. Gib die Grenzen ein. Die untere und obere Grenze legen das Intervall fest, über das die Fläche berechnet wird.
3. Berechnen. Du erhältst den Wert des bestimmten Integrals, also die Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse.

Was bedeutet das bestimmte Integral?

Das bestimmte Integral ∫ₐᵇ f(x) dx beschreibt die vorzeichenbehaftete Fläche zwischen der Kurve der Funktion und der x-Achse im Intervall [a, b]. Liegt die Kurve über der x-Achse, ist die Fläche positiv; unter der Achse wird die Fläche negativ gezählt. Das Integral ist ein zentrales Werkzeug zur Berechnung von Flächen, Volumen, Arbeit und vielen physikalischen Größen.

Simpson-Regel

Der Rechner verwendet die Simpson-Regel, die die Fläche schätzt, indem sie der Kurve Parabelbögen anpasst. Das Verfahren ist für glatte Funktionen sehr genau und liefert bei gewöhnlichen Aufgaben ein praktisch korrektes Ergebnis. Hat die Funktion im gewählten Intervall eine Unstetigkeit oder eine senkrechte Asymptote, kann das Ergebnis unzuverlässig sein – teile dann das Intervall in Teile.

Beispiel: Weg aus der Geschwindigkeit

Ist die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit v(t) = 2t (m/s), so ist der zurückgelegte Weg über t = 0…5 das bestimmte Integral der Geschwindigkeit ∫₀⁵ 2t dt. Geometrisch ist das die Fläche des Dreiecks unter dem Geschwindigkeitsgraphen: Grundseite 5 und Höhe v(5) = 10, also Fläche = ½ · 5 · 10 = 25 Meter. Der Rechner liefert dasselbe Ergebnis numerisch. So verbindet das Integral Geschwindigkeit und Weg auf dieselbe Weise, wie die Ableitung Weg und Geschwindigkeit verbindet – sie sind zueinander inverse Operationen.

Bestimmtes und unbestimmtes Integral

Das unbestimmte Integral ∫ f(x) dx bedeutet eine Funktion, deren Ableitung f(x) ist; ihm gehört immer ein konstanter Term + C an. Das bestimmte Integral ∫ₐᵇ f(x) dx ist eine Zahl, die man durch Einsetzen der Grenzen und Subtrahieren erhält. Der Hauptsatz der Analysis verbindet diese: Das bestimmte Integral ist die Differenz der Werte der Stammfunktion an den Grenzen. Dieser Rechner konzentriert sich auf das bestimmte Integral, also die Fläche über einem gegebenen Intervall, was für die meisten praktischen und schulischen Aufgaben ausreicht.

Von der Fläche zum Volumen und Mittelwert

Das bestimmte Integral berechnet die Fläche unter der Kurve, doch aus derselben Idee folgt noch viel mehr. Wird die Kurve um eine Achse gedreht, ergibt das Integral das Volumen des entstehenden Körpers – so berechnet man zum Beispiel die Volumina von Rotationskörpern. In der Physik verwandelt das Integral Geschwindigkeit in Weg und Kraft in geleistete Arbeit, weil diese „Ansammlungen" über Zeit oder Weg sind.

Mit dem Integral berechnet man auch den Mittelwert einer Funktion über ein Intervall: Er ist das Integral geteilt durch die Länge des Intervalls. So erhält man zum Beispiel den Mittelwert einer schwankenden Temperatur oder Leistung über einen bestimmten Zeitraum. In all diesen wiederholt sich dieselbe Idee der kontinuierlichen Summierung: Das Integral zählt unendlich viele kleine Teile zusammen. Dieser Rechner liefert die Fläche numerisch, und sobald du erkennst, was die Fläche in der jeweiligen Situation darstellt, dient dasselbe Werkzeug vielerlei Aufgaben.

Wissenswertes über das Integral

• Ein bestimmtes Integral ist eine Zahl, ein unbestimmtes Integral ist eine Funktion (+ Konstante C).
• Sind obere und untere Grenze gleich, ist der Wert des Integrals null.
• Das Vertauschen der Grenzen ändert das Vorzeichen des Integrals.
• Der Teil unterhalb der x-Achse wird als negative Fläche gezählt.

Zusammengefasst

Der Integralrechner berechnet das bestimmte Integral, also die Fläche unter der Kurve, mit den angegebenen Grenzen. Gib die Funktion und die Grenzen ein, und das Werkzeug berechnet das Ergebnis genau mit der Simpson-Regel. Dieselbe Flächenidee verallgemeinert sich auf Volumen, Arbeit und Mittelwerte, sodass der Rechner vielerlei Aufgaben dient.

Häufig gestellte Fragen