Calcolatore di logaritmi

Cos'è un logaritmo?

Un logaritmo risponde alla domanda: a quale potenza deve essere elevata la base per ottenere il numero dato? Ad esempio, log₁₀(1000) = 3, perché 10³ = 1000. Il logaritmo in base dieci è spesso scritto log, il logaritmo naturale (base e ≈ 2,718) è scritto ln, e in informatica si usa spesso il logaritmo in base due log₂.

Come usare la calcolatrice

1. Inserite il numero. L'argomento, cioè il numero di cui si calcola il logaritmo (deve essere maggiore di 0).
2. Inserite la base. 10, 2, e o qualche altro numero positivo. Le scorciatoie log₁₀, ln e log₂ sono pronte all'uso.
3. Calcolate. Il risultato con la base scelta più log₁₀, ln e log₂ affiancati.

La formula del cambiamento di base e il suo uso

Il logaritmo di qualsiasi base può essere calcolato usando il logaritmo naturale o in base dieci con la formula del cambiamento di base: log_b(x) = ln(x) / ln(b). La calcolatrice usa questa formula internamente, così potete scegliere liberamente la base. I logaritmi sono necessari, ad esempio, per gestire il livello sonoro (decibel), l'acidità (pH), i terremoti (Richter) e i fenomeni di interesse composto.

Esempio: pH e livello sonoro

I logaritmi compaiono in molte scale. L'acidità è espressa dal valore pH, che è −log₁₀(concentrazione degli ioni di idrogeno). Se la concentrazione è 10⁻⁴ mol/l, pH = −log₁₀(10⁻⁴) = 4. Il livello sonoro è misurato in decibel, che sono logaritmici: la potenza sonora si decuplica per ogni 10 decibel. Per questo motivo, 60 dB non è il doppio di 30 dB ma mille volte più potente. Il logaritmo comprime grandi intervalli in numeri comodi.

Regole per calcolare i logaritmi

Le formule fondamentali dei logaritmi derivano dalle regole delle potenze. Il logaritmo di un prodotto è la somma dei logaritmi: log(xy) = log x + log y. Il logaritmo di un quoziente è la loro differenza: log(x/y) = log x − log y. Il logaritmo di una potenza porta l'esponente fuori come fattore: log(xⁿ) = n·log x. Queste regole spiegano perché un tempo i logaritmi trasformavano le moltiplicazioni in addizioni e rendevano più facile il calcolo a mano. Con la formula del cambiamento di base log_b(x) = ln x / ln b potete cambiare liberamente la base.

Scala logaritmica nei grafici

Quando i valori in esame coprono molti ordini di grandezza, una scala lineare ordinaria non funziona: i valori piccoli si appiattiscono fuori dalla vista. Su una scala logaritmica, ogni passo corrisponde a una moltiplicazione anziché a un'addizione — tipicamente un aumento di dieci volte. In questo modo sia i valori piccoli sia quelli grandi rientrano in modo leggibile nello stesso grafico.

Le scale logaritmiche vengono utilizzate, ad esempio, nella scala Richter per i terremoti, nei decibel sonori e nelle curve di crescita economica a lungo termine. Sulla scala Richter, un aumento di un'unità significa circa dieci volte l'energia, quindi un terremoto di magnitudo 6 è enormemente più forte di uno di magnitudo 5. Una volta compreso il logaritmo, tali scale si aprono: descrivono la moltiplicazione anziché l'addizione, e la calcolatrice del logaritmo aiuta a convertire i valori in entrambe le direzioni.

Buono a sapersi sui logaritmi

• Il logaritmo è definito solo per numeri positivi; log(0) e il logaritmo dei negativi non sono reali.
• log(1) = 0 in qualsiasi base, perché qualsiasi numero elevato a 0 è 1.
• log(base) = 1: for example, log₁₀(10) = 1 and ln(e) = 1.
• Il logaritmo cresce lentamente — un aumento di dieci volte in un numero aggiunge solo uno al logaritmo in base dieci.

In sintesi

La calcolatrice del logaritmo calcola il logaritmo con la base che scegliete e allo stesso tempo mostra log₁₀, ln e log₂. Inserite il numero e la base, e lo strumento utilizza automaticamente la formula del cambiamento di base. I logaritmi sono centrali per molte scale, come pH e decibel, e la calcolatrice converte i valori senza sforzo.

Domande frequenti