적분 계산기

적분 계산 방법

1. 함수 f(x)를 입력하세요. 예를 들어 x^2 또는 sin(x).
2. 범위를 입력하세요. 아래끝과 위끝이 넓이를 계산할 구간을 정합니다.
3. 계산. 정적분의 값, 즉 곡선과 x축 사이의 넓이가 나옵니다.

정적분은 무엇을 뜻하나요?

정적분 ∫ₐᵇ f(x) dx는 구간 [a, b]에서 함수 곡선과 x축 사이의 부호 있는 넓이를 나타냅니다. 곡선이 x축 위에 있을 때 넓이는 양수이고, 축 아래에 있을 때 넓이는 음수로 계산됩니다. 적분은 넓이·부피·일, 그리고 여러 물리량을 계산하는 데 핵심적인 도구입니다.

심프슨 공식

계산기는 심프슨 공식을 사용하며, 이는 곡선에 포물선 호를 맞추어 넓이를 추정합니다. 이 방법은 매끄러운 함수에 대해 매우 정확하며, 일반적인 문제에서는 실질적으로 올바른 결과를 줍니다. 선택한 구간에 함수의 불연속점이나 수직 점근선이 있으면 결과가 신뢰할 수 없을 수 있습니다. 그럴 때는 구간을 나누세요.

예: 속도로부터 거리 구하기

시간의 함수로서 속도가 v(t) = 2t(m/s)일 때, t = 0…5 동안 이동한 거리는 속도의 정적분 ∫₀⁵ 2t dt입니다. 기하적으로 이는 속도 그래프 아래 삼각형의 넓이입니다. 밑변 5, 높이 v(5) = 10이므로 넓이 = ½ · 5 · 10 = 25미터입니다. 계산기는 같은 결과를 수치적으로 구합니다. 이렇게 적분은 미분이 거리와 속도를 잇는 것과 같은 방식으로 속도와 거리를 잇습니다. 둘은 서로 역연산입니다.

정적분과 부정적분

부정적분 ∫ f(x) dx는 도함수가 f(x)인 함수를 뜻하며, 항상 상수항 + C를 동반합니다. 정적분 ∫ₐᵇ f(x) dx는 범위를 대입하고 빼서 얻는 수입니다. 미적분의 기본 정리가 이 둘을 잇습니다. 정적분은 원시함수의 범위 양 끝에서의 값의 차입니다. 이 계산기는 정적분, 즉 주어진 구간에서의 넓이에 초점을 맞추며, 이는 대부분의 실용적·학교 문제에 충분합니다.

넓이에서 부피와 평균으로

정적분은 곡선 아래의 넓이를 계산하지만, 같은 발상에서 훨씬 많은 것이 따라 나옵니다. 곡선을 축을 중심으로 회전시키면 적분으로 생기는 입체의 부피를 구할 수 있습니다. 예를 들어 회전체의 부피는 이렇게 계산합니다. 물리에서 적분은 속도를 거리로, 힘을 한 일로 바꿉니다. 이들은 시간이나 거리에 걸친 '누적'이기 때문입니다.

적분은 구간에서 함수의 평균을 계산하는 데에도 쓰입니다. 그것은 적분을 구간의 길이로 나눈 것입니다. 이렇게 하면 예를 들어 특정 기간의 변하는 온도나 전력의 평균을 구할 수 있습니다. 이 모든 것에 연속적인 합산이라는 같은 발상이 되풀이됩니다. 적분은 무한히 많은 작은 부분을 더합니다. 이 계산기는 넓이를 수치적으로 구하며, 각 상황에서 넓이가 무엇을 나타내는지 알아차리면 같은 도구가 다양한 문제에 도움이 됩니다.

적분에 대해 알아두면 좋은 점

• 정적분은 수이고, 부정적분은 함수입니다(+ 상수 C).
• 위끝과 아래끝이 같으면 적분의 값은 0입니다.
• 위끝과 아래끝을 바꾸면 적분의 부호가 바뀝니다.
• x축 아래 부분은 음의 넓이로 계산됩니다.

요약

적분 계산기는 주어진 범위에서 정적분, 즉 곡선 아래의 넓이를 계산합니다. 함수와 범위를 입력하면 도구가 심프슨 공식으로 결과를 정확하게 계산합니다. 같은 넓이의 발상은 부피·일·평균으로 일반화되므로, 이 계산기는 다양한 문제에 도움이 됩니다.

자주 묻는 질문