Kalkulator całek

Jak obliczyć całkę

1. Wpisz funkcję f(x). For example x^2 or sin(x).
2. Wpisz granice. Dolna i górna granica definiują przedział, na którym obliczane jest pole.
3. Calculate. Otrzymujesz wartość całki oznaczonej, czyli pole między krzywą a osią x.

Co oznacza całka oznaczona?

Całka oznaczona ∫ₐᵇ f(x) dx opisuje pole ze znakiem między krzywą funkcji a osią x na przedziale [a, b]. Gdy krzywa jest powyżej osi x, pole jest dodatnie; poniżej osi pole liczone jest jako ujemne. Całka to centralne narzędzie do obliczania pól, objętości, pracy i wielu wielkości fizycznych.

Metoda Simpsona

Kalkulator używa reguły Simpsona, która szacuje pole, dopasowując łuki paraboliczne do krzywej. Metoda jest bardzo dokładna dla funkcji gładkich i daje praktycznie poprawny wynik dla zwykłych problemów. Jeśli funkcja ma nieciągłość lub asymptotę pionową w wybranym przedziale, wynik może być niepewny — w takim przypadku podziel przedział na części.

Przykład: droga z prędkości

Jeśli prędkość jako funkcja czasu to v(t) = 2t (m/s), przebyta droga na przedziale t = 0…5 to całka oznaczona prędkości ∫₀⁵ 2t dt. Geometrycznie jest to pole trójkąta pod wykresem prędkości: podstawa 5 i wysokość v(5) = 10, więc pole = ½ · 5 · 10 = 25 metrów. Kalkulator podaje ten sam wynik numerycznie. W ten sposób całka łączy prędkość i drogę w taki sam sposób, w jaki pochodna łączy drogę i prędkość — są operacjami wzajemnie odwrotnymi.

Całka oznaczona i nieoznaczona

Całka nieoznaczona ∫ f(x) dx oznacza funkcję, której pochodna jest f(x); zawsze zawiera wyraz stały + C. Całka oznaczona ∫ₐᵇ f(x) dx to liczba otrzymana przez podstawienie granic i odejmowanie. Twierdzenie podstawowe rachunku różniczkowego i całkowego łączy je razem: całka oznaczona jest różnicą wartości funkcji pierwotnej na granicach. Ten kalkulator skupia się na całce oznaczonej, czyli polu nad danym przedziałem, co wystarcza do większości praktycznych i szkolnych problemów.

Od pola do objętości i średniej

Całka oznaczona oblicza pole pod krzywą, ale wiele innych rzeczy wynika z tej samej idei. Gdy krzywa jest obracana wokół osi, całka daje objętość powstałej bryły — tak na przykład obliczane są objętości brył obrotowych. W fizyce całka zamienia prędkość w drogę, a siłę w wykonaną pracę, ponieważ są to „nagromadzenia" w czasie lub na odległości.

Całka służy również do obliczania średniej funkcji na przedziale: jest to całka podzielona przez długość przedziału. Daje to na przykład średnią zmieniającej się temperatury lub mocy w pewnym okresie. We wszystkich tych przypadkach powraca ta sama idea ciągłego sumowania: całka dodaje nieskończenie wiele małych części. Ten kalkulator podaje pole numerycznie, a gdy rozpoznasz, co pole reprezentuje w każdej sytuacji, to samo narzędzie służy do wielu rodzajów problemów.

Warto wiedzieć o całce

• Całka oznaczona to liczba, całka nieoznaczona to funkcja (+ stała C).
• Jeśli górna i dolna granica są takie same, wartość całki wynosi zero.
• Zamiana granic zmienia znak całki.
• Część poniżej osi x liczona jest jako ujemne pole.

Podsumowanie

Kalkulator całek oblicza całkę oznaczoną, czyli pole pod krzywą, z podanymi granicami. Wprowadź funkcję i granice, a narzędzie oblicza wynik dokładnie regułą Simpsona. Ta sama idea pola uogólnia się na objętości, pracę i średnie, więc kalkulator służy do wielu rodzajów problemów.

Najczęstsze pytania