Calculatrice d'intégrales

Comment calculer l'intégrale

1. Saisissez la fonction f(x). Par exemple x^2 ou sin(x).
2. Saisissez les bornes. Les bornes inférieure et supérieure définissent l'intervalle sur lequel l'aire est calculée.
3. Calculer. Vous obtenez la valeur de l'intégrale définie, c'est-à-dire l'aire entre la courbe et l'axe des x.

Que signifie l'intégrale définie ?

L'intégrale définie ∫ₐᵇ f(x) dx décrit l'aire signée entre la courbe de la fonction et l'axe des x sur l'intervalle [a, b]. Lorsque la courbe est au-dessus de l'axe des x, l'aire est positive ; sous l'axe, l'aire est comptée comme négative. L'intégrale est un outil central pour calculer des aires, des volumes, du travail et de nombreuses grandeurs physiques.

Méthode de Simpson

La calculatrice utilise la méthode de Simpson, qui estime l'aire en ajustant des arcs de parabole à la courbe. La méthode est très précise pour les fonctions lisses et donne un résultat pratiquement correct pour les problèmes ordinaires. Si la fonction a une discontinuité ou une asymptote verticale dans l'intervalle choisi, le résultat peut être peu fiable — divisez alors l'intervalle en parties.

Exemple : distance à partir de la vitesse

Si la vitesse en fonction du temps est v(t) = 2t (m/s), la distance parcourue sur t = 0…5 est l'intégrale définie de la vitesse ∫₀⁵ 2t dt. Géométriquement, c'est l'aire du triangle sous le graphe de la vitesse : base 5 et hauteur v(5) = 10, donc l'aire = ½ · 5 · 10 = 25 mètres. La calculatrice donne le même résultat numériquement. Ainsi l'intégrale relie la vitesse et la distance de la même façon que la dérivée relie la distance et la vitesse — ce sont des opérations inverses l'une de l'autre.

Intégrale définie et indéfinie

L'intégrale indéfinie ∫ f(x) dx désigne une fonction dont la dérivée est f(x) ; elle comporte toujours un terme constant + C. L'intégrale définie ∫ₐᵇ f(x) dx est un nombre obtenu en substituant les bornes et en soustrayant. Le théorème fondamental de l'analyse les relie : l'intégrale définie est la différence des valeurs de la primitive aux bornes. Cette calculatrice se concentre sur l'intégrale définie, c'est-à-dire l'aire sur un intervalle donné, ce qui suffit pour la plupart des problèmes pratiques et scolaires.

De l'aire au volume et à la moyenne

L'intégrale définie calcule l'aire sous la courbe, mais bien d'autres choses découlent de la même idée. Lorsque la courbe est tournée autour d'un axe, l'intégrale donne le volume du solide obtenu — c'est ainsi que l'on calcule, par exemple, les volumes des solides de révolution. En physique, l'intégrale transforme la vitesse en distance et la force en travail effectué, car ce sont des « accumulations » au fil du temps ou de la distance.

L'intégrale sert aussi à calculer la moyenne d'une fonction sur un intervalle : c'est l'intégrale divisée par la longueur de l'intervalle. On obtient ainsi, par exemple, la moyenne d'une température ou d'une puissance variable sur une période donnée. Dans tous ces cas se répète la même idée de sommation continue : l'intégrale additionne une infinité de petites parties. Cette calculatrice donne l'aire numériquement, et une fois que vous reconnaissez ce que l'aire représente dans chaque situation, le même outil sert à de nombreux types de problèmes.

Bon à savoir sur l'intégrale

• Une intégrale définie est un nombre, une intégrale indéfinie est une fonction (+ constante C).
• Si les bornes supérieure et inférieure sont identiques, la valeur de l'intégrale est nulle.
• Échanger les bornes change le signe de l'intégrale.
• La partie sous l'axe des x est comptée comme aire négative.

En résumé

La calculatrice d'intégrales calcule l'intégrale définie, c'est-à-dire l'aire sous la courbe, avec les bornes données. Saisissez la fonction et les bornes, et l'outil calcule le résultat avec précision par la méthode de Simpson. La même idée d'aire se généralise aux volumes, au travail et aux moyennes, si bien que la calculatrice sert à de nombreux types de problèmes.

Questions fréquentes