Integraalilaskuri

Näin lasket integraalin

1. Syötä funktio f(x). Esimerkiksi x^2 tai sin(x).
2. Anna rajat. Alaraja ja yläraja määrittävät välin, jolta pinta-ala lasketaan.
3. Laske. Saat määrätyn integraalin arvon eli pinta-alan käyrän ja x-akselin välissä.

Mitä määrätty integraali tarkoittaa?

Määrätty integraali ∫ₐᵇ f(x) dx kuvaa etumerkillistä pinta-alaa funktion käyrän ja x-akselin välissä välillä [a, b]. Kun käyrä on x-akselin yläpuolella, ala on positiivinen; akselin alapuolella ala lasketaan negatiivisena. Integraali on keskeinen väline pinta-alojen, tilavuuksien, työn ja monen fysikaalisen suureen laskennassa.

Simpsonin menetelmä

Laskuri käyttää Simpsonin menetelmää, joka arvioi pinta-alan sovittamalla käyrään paraabelikaaria. Menetelmä on hyvin tarkka sileille funktioille ja antaa käytännössä oikean tuloksen tavallisiin tehtäviin. Jos funktiolla on epäjatkuvuuskohta tai pystysuora asymptootti valitulla välillä, tulos voi olla epäluotettava – jaa tällöin väli osiin.

Esimerkki: matka nopeudesta

Jos nopeus ajan funktiona on v(t) = 2t (m/s), kuljettu matka välillä t = 0…5 on nopeuden määrätty integraali ∫₀⁵ 2t dt. Geometrisesti tämä on kolmion pinta-ala nopeuskuvaajan alla: kanta 5 ja korkeus v(5) = 10, joten ala = ½ · 5 · 10 = 25 metriä. Laskuri antaa saman tuloksen numeerisesti. Näin integraali yhdistää nopeuden ja matkan samalla tavalla kuin derivaatta yhdistää matkan ja nopeuden – ne ovat toistensa käänteisoperaatioita.

Määrätty ja määräämätön integraali

Määräämätön integraali ∫ f(x) dx tarkoittaa funktiota, jonka derivaatta on f(x); siihen liittyy aina vakiotermi + C. Määrätty integraali ∫ₐᵇ f(x) dx on luku, joka saadaan sijoittamalla rajat ja vähentämällä. Analyysin peruslause sitoo nämä yhteen: määrätty integraali on integraalifunktion arvojen erotus rajoilla. Tämä laskuri keskittyy määrättyyn integraaliin eli pinta-alaan annetulla välillä, mikä riittää useimpiin käytännön ja koulun tehtäviin.

Pinta-alasta tilavuuteen ja keskiarvoon

Määrätty integraali laskee pinta-alan käyrän alla, mutta samasta ideasta seuraa paljon muutakin. Kun käyrä pyöräytetään akselin ympäri, integraalilla saadaan syntyvän kappaleen tilavuus – näin lasketaan esimerkiksi pyörähdyskappaleiden tilavuuksia. Fysiikassa integraali muuntaa nopeuden matkaksi ja voiman tekemäksi työksi, koska nämä ovat ”kertymiä” ajan tai matkan yli.

Integraalilla lasketaan myös funktion keskiarvo välillä: se on integraali jaettuna välin pituudella. Näin saadaan esimerkiksi vaihtelevan lämpötilan tai tehon keskiarvo tietyllä ajanjaksolla. Kaikissa näissä toistuu sama ajatus jatkuvasta summaamisesta: integraali laskee yhteen äärettömän monta pientä osaa. Tämä laskuri antaa pinta-alan numeerisesti, ja kun tunnistat, mitä pinta-ala kussakin tilanteessa edustaa, sama työkalu palvelee monenlaisia tehtäviä.

Hyvä tietää integraalista

• Määrätty integraali on luku, määräämätön integraali on funktio (+ vakio C).
• Jos ylä- ja alaraja ovat samat, integraalin arvo on nolla.
• Rajojen vaihtaminen keskenään muuttaa integraalin etumerkin.
• x-akselin alapuolinen osa lasketaan negatiivisena pinta-alana.

Tiivistetysti

Integraalilaskuri laskee määrätyn integraalin eli pinta-alan käyrän alla annetuilla rajoilla. Anna funktio ja rajat, niin työkalu laskee tuloksen tarkasti Simpsonin menetelmällä. Sama pinta-alan idea yleistyy tilavuuksiin, työhön ja keskiarvoihin, joten laskuri palvelee monenlaisia tehtäviä.

Usein kysytyt kysymykset