積分計算機

積分の計算方法

1. 関数 f(x) を入力してください。 例えば x^2 または sin(x)。
2. 範囲を入力する。 下限と上限が、面積を計算する区間を定めます。
3. 計算。 定積分の値、すなわち曲線と x 軸の間の面積が求められます。

定積分とは何ですか？

定積分 ∫ₐᵇ f(x) dx は、区間 [a, b] における関数の曲線と x 軸の間の符号付き面積を表します。曲線が x 軸より上にあるとき面積は正、軸より下にあるとき面積は負として数えられます。積分は、面積・体積・仕事、そして多くの物理量を計算するための中心的な道具です。

シンプソン法

この計算ツールはシンプソン法を使い、曲線に放物線の弧を当てはめて面積を推定します。この手法は滑らかな関数に対して非常に正確で、通常の問題では実質的に正しい結果を与えます。選んだ区間に関数の不連続点や垂直漸近線がある場合、結果は信頼できないことがあります。その場合は区間を分割してください。

例：速度から距離を求める

時間の関数としての速度が v(t) = 2t（m/s）のとき、t = 0…5 の間に進んだ距離は速度の定積分 ∫₀⁵ 2t dt です。幾何的には、これは速度グラフの下の三角形の面積です。底辺 5、高さ v(5) = 10 なので、面積 = ½ · 5 · 10 = 25 メートルです。計算ツールは同じ結果を数値的に求めます。このように積分は、微分が距離と速度を結びつけるのと同じように、速度と距離を結びつけます。両者は互いに逆の演算です。

定積分と不定積分

不定積分 ∫ f(x) dx は、導関数が f(x) となる関数を意味し、常に定数項 + C を伴います。定積分 ∫ₐᵇ f(x) dx は、範囲を代入して引き算することで得られる数です。微分積分学の基本定理がこれらを結びつけます。定積分は、原始関数の範囲の端での値の差です。この計算ツールは定積分、すなわち与えられた区間での面積に重点を置いており、実用的な問題や学校の問題のほとんどにはこれで十分です。

面積から体積、そして平均値へ

定積分は曲線の下の面積を計算しますが、同じ考え方からさらに多くのことが導かれます。曲線を軸の周りに回転させると、積分によって生じる立体の体積が求められます。例えば回転体の体積はこのように計算します。物理では、積分は速度を距離に、力を行われた仕事に変換します。これらは時間や距離にわたる「積み重ね」だからです。

積分は、区間における関数の平均値の計算にも使われます。それは積分を区間の長さで割ったものです。こうして例えば、一定期間における変動する温度や電力の平均が求められます。これらすべてに、連続的な足し合わせという同じ考え方が繰り返されます。積分は無限に多くの小さな部分を足し合わせるのです。この計算ツールは面積を数値的に求めます。それぞれの状況で面積が何を表すかを理解すれば、同じ道具がさまざまな問題に役立ちます。

積分について知っておくとよいこと

• 定積分は数、不定積分は関数（+ 定数 C）です。
• 上限と下限が同じなら、積分の値はゼロです。
• 上限と下限を入れ替えると、積分の符号が変わります。
• x 軸より下の部分は、負の面積として数えられます。

まとめ

積分計算ツールは、与えられた範囲で定積分、すなわち曲線の下の面積を計算します。関数と範囲を入力すると、ツールがシンプソン法で正確に結果を求めます。同じ面積の考え方は体積・仕事・平均値へと一般化されるため、この計算ツールはさまざまな問題に役立ちます。

よくある質問