Calcolatore di integrali

Come calcolare l'integrale

1. Inserite la funzione f(x). Ad esempio x^2 or sin(x).
2. Inserite i limiti. I limiti inferiore e superiore definiscono l'intervallo su cui viene calcolata l'area.
3. Calcolate. Ottenete il valore dell'integrale definito, cioè l'area tra la curva e l'asse x.

Cosa significa l'integrale definito?

L'integrale definito ∫ₐᵇ f(x) dx descrive l'area con segno tra la curva della funzione e l'asse x nell'intervallo [a, b]. Quando la curva è sopra l'asse x, l'area è positiva; sotto l'asse l'area è contata come negativa. L'integrale è uno strumento centrale per calcolare aree, volumi, lavoro e molte grandezze fisiche.

Regola di Simpson

La calcolatrice utilizza la regola di Simpson, che stima l'area adattando archi parabolici alla curva. Il metodo è molto accurato per funzioni lisce e fornisce un risultato praticamente corretto per problemi ordinari. Se la funzione ha una discontinuità o un asintoto verticale nell'intervallo scelto, il risultato può essere inaffidabile — in quel caso dividete l'intervallo in parti.

Esempio: distanza dalla velocità

Se la velocità in funzione del tempo è v(t) = 2t (m/s), la distanza percorsa su t = 0…5 è l'integrale definito della velocità ∫₀⁵ 2t dt. Geometricamente questa è l'area del triangolo sotto il grafico della velocità: base 5 e altezza v(5) = 10, quindi l'area = ½ · 5 · 10 = 25 metri. La calcolatrice fornisce lo stesso risultato numericamente. Così l'integrale collega velocità e distanza nello stesso modo in cui la derivata collega distanza e velocità — sono operazioni inverse l'una dell'altra.

Integrale definito e indefinito

L'integrale indefinito ∫ f(x) dx indica una funzione la cui derivata è f(x); comporta sempre un termine costante + C. L'integrale definito ∫ₐᵇ f(x) dx è un numero ottenuto sostituendo i limiti e sottraendo. Il teorema fondamentale del calcolo integrale lega questi concetti: l'integrale definito è la differenza dei valori della primitiva agli estremi. Questa calcolatrice si concentra sull'integrale definito, cioè l'area su un intervallo dato, il che è sufficiente per la maggior parte dei problemi pratici e scolastici.

Dall'area al volume e alla media

L'integrale definito calcola l'area sotto la curva, ma dalla stessa idea segue molto altro. Quando la curva viene ruotata attorno a un asse, l'integrale fornisce il volume del solido risultante — ecco come vengono calcolati, ad esempio, i volumi dei solidi di rivoluzione. In fisica l'integrale trasforma la velocità in distanza e la forza in lavoro compiuto, perché queste sono "accumulazioni" nel tempo o nella distanza.

L'integrale è usato anche per calcolare la media di una funzione su un intervallo: è l'integrale diviso per la lunghezza dell'intervallo. Ciò fornisce, ad esempio, la media di una temperatura o di una potenza variabile in un certo periodo. In tutti questi casi ricorre la stessa idea di sommatoria continua: l'integrale somma infinite piccole parti. Questa calcolatrice fornisce l'area numericamente, e una volta riconosciuto ciò che l'area rappresenta in ogni situazione, lo stesso strumento serve per molti tipi di problemi.

Buono a sapersi sull'integrale

• Un integrale definito è un numero, un integrale indefinito è una funzione (+ costante C).
• Se i limiti superiore e inferiore sono uguali, il valore dell'integrale è zero.
• Scambiare i limiti cambia il segno dell'integrale.
• La parte sotto l'asse x viene contata come area negativa.

In sintesi

La calcolatrice dell'integrale calcola l'integrale definito, cioè l'area sotto la curva, con i limiti dati. Inserite la funzione e i limiti, e lo strumento calcola il risultato accuratamente con la regola di Simpson. La stessa idea di area si generalizza a volumi, lavoro e medie, quindi la calcolatrice serve per molti tipi di problemi.

Domande frequenti