Calculadora de integrales

Cómo calcular la integral

1. Introduce la función f(x). Por ejemplo x^2 o sin(x).
2. Introduce los límites. El límite inferior y el superior definen el intervalo sobre el que se calcula el área.
3. Calcular. Obtienes el valor de la integral definida, es decir, el área entre la curva y el eje x.

¿Qué significa la integral definida?

La integral definida ∫ₐᵇ f(x) dx describe el área con signo entre la curva de la función y el eje x en el intervalo [a, b]. Cuando la curva está por encima del eje x, el área es positiva; por debajo del eje, el área se cuenta como negativa. La integral es una herramienta fundamental para calcular áreas, volúmenes, trabajo y muchas magnitudes físicas.

Regla de Simpson

La calculadora usa la regla de Simpson, que estima el área ajustando arcos de parábola a la curva. El método es muy preciso para funciones suaves y da un resultado prácticamente correcto en los problemas ordinarios. Si la función tiene una discontinuidad o una asíntota vertical en el intervalo elegido, el resultado puede no ser fiable: en tal caso divide el intervalo en partes.

Ejemplo: distancia a partir de la velocidad

Si la velocidad en función del tiempo es v(t) = 2t (m/s), la distancia recorrida en t = 0…5 es la integral definida de la velocidad ∫₀⁵ 2t dt. Geométricamente, esto es el área del triángulo bajo la gráfica de velocidad: base 5 y altura v(5) = 10, así que el área = ½ · 5 · 10 = 25 metros. La calculadora da el mismo resultado numéricamente. Así, la integral conecta la velocidad y la distancia del mismo modo que la derivada conecta la distancia y la velocidad: son operaciones inversas la una de la otra.

Integral definida e indefinida

La integral indefinida ∫ f(x) dx significa una función cuya derivada es f(x); siempre lleva un término constante + C. La integral definida ∫ₐᵇ f(x) dx es un número que se obtiene sustituyendo los límites y restando. El teorema fundamental del cálculo los une: la integral definida es la diferencia de los valores de la primitiva en los límites. Esta calculadora se centra en la integral definida, es decir, el área sobre un intervalo dado, lo cual basta para la mayoría de los problemas prácticos y escolares.

Del área al volumen y al promedio

La integral definida calcula el área bajo la curva, pero de la misma idea se sigue mucho más. Cuando la curva se gira alrededor de un eje, la integral da el volumen del sólido resultante: así se calculan, por ejemplo, los volúmenes de los sólidos de revolución. En física, la integral convierte la velocidad en distancia y la fuerza en trabajo realizado, porque estas son «acumulaciones» a lo largo del tiempo o de la distancia.

Con la integral también se calcula el promedio de una función en un intervalo: es la integral dividida por la longitud del intervalo. Así se obtiene, por ejemplo, el promedio de una temperatura o potencia variable en un período determinado. En todos estos se repite la misma idea de suma continua: la integral suma infinitas partes pequeñas. Esta calculadora da el área numéricamente, y una vez que reconoces qué representa el área en cada situación, la misma herramienta sirve para muchos tipos de problemas.

Conviene saber sobre la integral

• Una integral definida es un número, una integral indefinida es una función (+ constante C).
• Si el límite superior y el inferior son iguales, el valor de la integral es cero.
• Intercambiar los límites cambia el signo de la integral.
• La parte por debajo del eje x se cuenta como área negativa.

En resumen

La calculadora de integrales calcula la integral definida, es decir, el área bajo la curva, con los límites dados. Introduce la función y los límites, y la herramienta calcula el resultado con precisión mediante la regla de Simpson. La misma idea de área se generaliza a volúmenes, trabajo y promedios, así que la calculadora sirve para muchos tipos de problemas.

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