Integraalrekenmachine

Hoe bereken je de integraal

1. Voer de functie f(x) in. Bijvoorbeeld x^2 or sin(x).
2. Voer de grenzen in. De onder- en bovengrens definiëren het interval waarover de oppervlakte wordt berekend.
3. Bereken. Je krijgt de waarde van de bepaalde integraal, d.w.z. de oppervlakte tussen de curve en de x-as.

Wat betekent de bepaalde integraal?

De bepaalde integraal ∫ₐᵇ f(x) dx beschrijft de getekende oppervlakte tussen de curve van de functie en de x-as over het interval [a, b]. Wanneer de curve boven de x-as ligt, is de oppervlakte positief; onder de as wordt de oppervlakte als negatief geteld. De integraal is een centraal hulpmiddel bij het berekenen van oppervlakten, volumes, arbeid en vele natuurkundige grootheden.

Regel van Simpson

De rekenmachine gebruikt de regel van Simpson, die de oppervlakte schat door parabolische bogen aan de curve aan te passen. De methode is zeer nauwkeurig voor gladde functies en geeft een praktisch correct resultaat voor gewone problemen. Als de functie een discontinuïteit of een verticale asymptoot in het gekozen interval heeft, kan het resultaat onbetrouwbaar zijn — verdeel in dat geval het interval in delen.

Voorbeeld: afstand uit snelheid

Als de snelheid als functie van de tijd v(t) = 2t (m/s) is, is de afgelegde afstand over t = 0…5 de bepaalde integraal van de snelheid ∫₀⁵ 2t dt. Geometrisch is dit de oppervlakte van de driehoek onder de snelheidsgrafiek: basis 5 en hoogte v(5) = 10, dus de oppervlakte = ½ · 5 · 10 = 25 meter. De rekenmachine geeft hetzelfde resultaat numeriek. Zo verbindt de integraal snelheid en afstand op dezelfde manier waarop de afgeleide afstand en snelheid verbindt — ze zijn omgekeerde bewerkingen van elkaar.

Bepaalde en onbepaalde integraal

De onbepaalde integraal ∫ f(x) dx betekent een functie waarvan de afgeleide f(x) is; er hoort altijd een constante term + C bij. De bepaalde integraal ∫ₐᵇ f(x) dx is een getal dat verkregen wordt door de grenzen in te vullen en af te trekken. De hoofdstelling van de calculus verbindt deze: de bepaalde integraal is het verschil van de waarden van de primitieve in de grenzen. Deze rekenmachine richt zich op de bepaalde integraal, d.w.z. de oppervlakte over een gegeven interval, wat voldoende is voor de meeste praktische en schoolproblemen.

Van oppervlakte naar volume en gemiddelde

De bepaalde integraal berekent de oppervlakte onder de curve, maar veel meer volgt uit hetzelfde idee. Wanneer de curve om een as wordt gedraaid, geeft de integraal het volume van het resulterende lichaam — dit is bijvoorbeeld hoe de volumes van omwentelingslichamen worden berekend. In de natuurkunde verandert de integraal snelheid in afstand en kracht in verrichte arbeid, omdat dit „opeenhopingen" zijn over tijd of afstand.

De integraal wordt ook gebruikt om het gemiddelde van een functie over een interval te berekenen: het is de integraal gedeeld door de lengte van het interval. Dit geeft bijvoorbeeld het gemiddelde van een variërende temperatuur of vermogen over een bepaalde periode. In al deze gevallen keert hetzelfde idee van continue sommatie terug: de integraal telt oneindig veel kleine delen op. Deze rekenmachine geeft de oppervlakte numeriek, en zodra je herkent wat de oppervlakte in elke situatie voorstelt, dient dezelfde tool voor vele soorten problemen.

Handig om te weten over de integraal

• Een bepaalde integraal is een getal, een onbepaalde integraal is een functie (+ constante C).
• Als de boven- en ondergrens gelijk zijn, is de waarde van de integraal nul.
• Het verwisselen van de grenzen verandert het teken van de integraal.
• Het deel onder de x-as wordt als negatieve oppervlakte gerekend.

Samengevat

De integraalrekenmachine berekent de bepaalde integraal, d.w.z. de oppervlakte onder de curve, met de gegeven grenzen. Voer de functie en de grenzen in, en de tool berekent het resultaat nauwkeurig met de regel van Simpson. Dezelfde idee van oppervlakte generaliseert naar volumes, arbeid en gemiddelden, dus de rekenmachine dient voor vele soorten problemen.

Veelgestelde vragen