积分计算器

如何计算积分

1. 请输入函数 f(x)。 例如 x^2 或 sin(x)。
2. 输入上下限。 下限和上限确定计算面积的区间。
3. 计算。 你会得到定积分的值，即曲线与 x 轴之间的面积。

定积分是什么意思？

定积分 ∫ₐᵇ f(x) dx 描述函数曲线与 x 轴之间在区间 [a, b] 上的带符号面积。当曲线在 x 轴上方时，面积为正；在轴下方时，面积计为负。积分是计算面积、体积、功和许多物理量的核心工具。

辛普森法

计算器使用辛普森法，它通过给曲线拟合抛物线弧来估算面积。该方法对光滑函数非常精确，对普通问题能给出实际正确的结果。如果函数在所选区间内有不连续点或竖直渐近线，结果可能不可靠——此时应把区间分成若干部分。

示例：从速度求路程

如果速度作为时间的函数是 v(t) = 2t（米/秒），那么在 t = 0…5 上行进的路程是速度的定积分 ∫₀⁵ 2t dt。从几何上看，这是速度图像下方三角形的面积：底 5、高 v(5) = 10，因此面积 = ½ · 5 · 10 = 25 米。计算器以数值方法给出相同结果。这样，积分把速度和路程联系起来，正如导数把路程和速度联系起来——它们互为逆运算。

定积分与不定积分

不定积分 ∫ f(x) dx 指导数为 f(x) 的函数；它总是带有一个常数项 + C。定积分 ∫ₐᵇ f(x) dx 是一个数，通过代入上下限并相减得到。微积分基本定理把它们联系起来：定积分是原函数在上下限处取值之差。本计算器专注于定积分，即在给定区间上的面积，这足以应对大多数实际和学校问题。

从面积到体积和平均值

定积分计算曲线下方的面积，但同样的思想还能引出许多其他内容。当曲线绕轴旋转时，用积分可求得所生成立体的体积——例如旋转体的体积就是这样计算的。在物理中，积分把速度转化为路程、把力转化为所做的功，因为这些都是随时间或距离的「累积」。

用积分还能计算函数在区间上的平均值：它等于积分除以区间长度。这样就能得到例如某段时间内变化的温度或功率的平均值。在所有这些中，都反复出现同样的连续求和思想：积分把无穷多个小部分加起来。本计算器以数值方法给出面积，一旦你认清面积在每种情境中代表什么，同一个工具就能服务于多种问题。

关于积分的须知

• 定积分是一个数，不定积分是一个函数（+ 常数 C）。
• 如果上限和下限相同，积分的值为零。
• 交换上下限会改变积分的符号。
• x 轴下方的部分计为负面积。

小结

积分计算器用给定的上下限计算定积分，即曲线下方的面积。输入函数和上下限，工具会用辛普森法精确计算结果。同样的面积思想可推广到体积、功和平均值，因此计算器能服务于多种问题。

常见问题